TT'"**' ~; — 7"? "T
dx^ d/^ dxdy da^ dxdy
Et si nous multiplions tout par la Jensité primitive
les coefficients seront précisément les expressions (41)9 qui sont celles des six composantes des pressions primitives, et les expressions (49) qui sont celles des coeffi* cients appelés a, en sorte que Von retrouve les équations d* équilibre (5a) déjà obtenues y et les deux procédés se contrôlent l'un l'autre (*).
{*) Cauchy a donné encore, dés i8q2, et aussi paçes 183*187 ^® ^^ troisième année des Exercices , des équations pour les corps mous ou dé' pourvus d*élasiicitéf et par conséquent pour les liquides en état de mourement perceptible. L*hypothèse employée consiste k regarder, à chaque instant, les parties non hydrostatiques des trois pressions principales comme proportionnelles aux dilatations principales que le mourement a produites pendant le temps infiniment court qui a immédiatement précédé, en regardant comme effacée TinQuence des dilatations ploaantérieurement engendrées. 11 arrive ainsi à des équations semblables à celles que Navier en 1832 (18 mars, t. VI des Mémoires de Vinsiitut) et Poisson
694 8TAT1QUB.
281. Observations dwerses sur cette analyse et sur celles qui ont été présentées par tfautres auteurs, — Cette double analyse de Cauchy, basée sur la loi des actions à de petites distances, parait tout à fait exacte; car, au lieu d'opérer, comme d^autres géomètres, ces i/ttégrations autour d'un point dont le principe peut conduire à des conséquences contraires à tous les faits, ainsi qu'il Ta montré (*) en même temps que Poisson (**) qui
en 1829 ( 12 octobre, su XX* Cahier du Journal de l'École Polftechmi^ue, p. i/|9y formules 7) ont tirées d'antres considéra tionsi et qu'on troure aussi démontrées aux Comptes rendus, 27 novembre 1843, t. XVII, p. ii^Z, au moyen d'une hypothèse simple; et aussi, d'une manière inj^nieuse, par M. StokeSy dans un Mémoire lu le i4 avril 184S (On théories qfthe internai friction offluids in motion. Transactions oj Cambridge, Tol. TllI, p. 397). Ce» sortes d'équations, bien qu'elles tiennent compte du frottement du fluide, ou de la non-normalité ei de l'inégalité de ses pressions quand il se ment, ce qui avait été négligé par les Géomètres du siècle dernier, paraissent n'être propres à représenter que les mouvements très lents, ou bien les mouvements très-réguliers qui s'opèrent dans les tubes capillaires bien polis, et non pas le mouvement croisé et tourbillonnant qui a lien dans les cours d'eau et dans les tuyaux d'un certain diamètre. M. Stokes, au reste, les a appliquées avec succès ii la détermination des oscillations lentes d^un |iendule dans un liquide (9 décembre i85o. Transactions of Cambridge, vol. IX).
(* ) Exercices, troisième année, p. ao3, 3o4, 3i4» 335, 336, 33i. On y
voit qu'en convertissant les sommes ^ d'actions en intégrales, comme si
les points matériels qui les exercent étaient en nombre infini etcontigus les uns aux autres, on arrive à ces conséquences : \^ que les pressions sont constamment normales aux faces, ou n'ont aucune composante tangentielle; i9 qu'elles ne varient que comme le carré de la densité lorsque Ton comprime, dilate ou déforme le corps dans Tintérieur duquel elles s'exercent. De sorte que tous les corps se comporteraient comme un fluide et d'une espèce même que la nature n'offre point. ( On peut voir à ce sujet, au Bulletin de la Société philomathique, ao janvier] 844» ^^ Mémoire sur la question de savoir s'il existe des masses continues, et sur la nature probable des dernières particules des corps, où Ton examine le célèbre système du P. Boscovich, et dont la conclusion est d'accord arec celle que Cauchy tirait de simples considérations sur la divisibilité de la matière dans son cours de Fisica sublime fait à Turin vers i833.)
(**) Mémoire du i4 avril 1828, inséré au t. VIU des Mémoires de
THÉORIE Gt»tKAl,E DE l'ÉLASTICITÉ. 69$
cependant les opérait encore implicitement dans le premier Mémoire où il en a signalé rinconvénient ('*'). Cauchy exprime constamment [comme Poisson l'a fait ensuite complètement aussi (**)^ ses résultantes de
forces, non par des intégrales, mais par des sommes W
ou \^ d'un nombre fini quoique très-grand d^ actions individuelles; et, cela, sans se servir, comme Poisson, de considérations peu rigoureuses relatives à la grandeur moyenne de Pespacement des molécules (***) , et sans avoir besoin de supposer avec lui que (( le rayon d'activité comprend un nombre immense de fois Tintervalle moléculaire », de sorte c( que les actions entre les molécules les plus voisines puissent être négligées devant les actions moindres mais plus nombreuses qui s'exercent entre les autres (****)», ce qui, comme le remarque Cauchy, conduirait aux mêmes conséquences fausses que la substitution d'un nombre infini de particules contiguës aux molécules isolées et espacées (*****). Une pareille suppression des molécules les plus proches les unes des autres n'est nullement nécessaire pour pouvoir représenter les dépla-
l* Académie des Seieneesy p. 366, 369. Nouvelle théorie de Vaetion capillaire, p. 3i et 378; et Polémique avec Navier, aux tomes XXXVI (1837), et XXXVII, XXXV1IL XXXIX (1828) des Annales de Chimie et de Phj^ sique.
(*) Même Mémoire du i4 avril i8a8, p. 378 a 38 1.
{** ) Mémoire du 12 octobre 1829, au XX* Cahier du Journal de l'École Polj technique, p. /| 1 à 46.
(***) Même Mémoire de 1839) art. 16, p. 33 et ^1.
{•***) Mémoire de 1838, p. 370, 378, et Mémoire de 1839, p. 7, 8, i3, 35, 26.
(*****) Exercices, troisième année, pages 202 à 2o4» 334, 335, 326, 33 1 déjà citées.
696 STÀTIQOB.
céments relatifs par les déreloppements (47) àe Au, Zkf», AtV) puisque les irrégularités individuelles disparaissent quand on prend des résultats moyens, seuls appKcables aux questions qui ont rapport à des amas de molécules.
Cette analyse est sous un autre rapport, et comme celle de Poisson, plus exacte aussi et plus complète que celle d'autres géomètres qui, au lieu de prendre pour Tactiou de deux molécules dont la distance r est devenue r,, sa valeur véritable
/ri =/r 4- (r. — r )/'r -4- . . . , prennent seulement
OU partent d'une hypothèse consistant à faire cette action proportionnelle à une certaine fonction y*V de la disunce primitive et au petit accroissement r^ — r qu'elle a subi. Il en résulte non-seulement que Ton omet ainsi les termes affectés des pressions primitives
qui peuvent n'être point nulles, ou qu'on réduit /ix,,..., Pj,j k leurs parties ^ijcv? Pxy [n® 278, formule (5o)], mais encore que les coefficients slxxxx^ ^xxjj^- • - ^^ <^^ parties conservées sont
iS
dfr
m— -p(x^ ou x*y* ou etc.), r^dr
au lieu de recevoir leurs expressions véritables (49)
at
^S w —r— [jB^ OU x'y* OU etc. ),
THiOUE GÉHtBALB DE l'ÉLASTIGITÉ. 697
qu*on peut remplacer idenliquemeat par ces autres expressions
— ■£ ^ m ^ (x« ou x'y* ou etc. ),
dont la seconde partie n'est point nulle, puisque Téquilibre supposé des actions primitives, ou
gm/r^ = o, §«/rJ=o, giii/r^ = o,
« même joint à la nullité des pressions primitives p^, ou à
£§«,^^. = 0,..., £§/»4xy = o, n'entraîne pas nécessairement
Les coefficients d'élasticité a^xx^v) ^xx^^^ des formules obtenues par Thypolbëse des auteurs dont nous parlons ne sont donc pas les véritables, même lorsqu'il y a primitivement équilibre et pressions nulles (*).
(*) L'analyse de Cancbylui permet aussi de poser et d^employer des équations d'équilibre où sont conservés tous les termes des développements de Taylor (47) de Au, A»', dw sans négliger ceux d^un ordre supérieur au second. Montrons succinctement comment cela a pu le conduire à expliquer certains phénomènes tels que ceux de dispersion de la lumière^ ou de rayons diversement colorés, paraissant dépendre de ce que Vétendue de la sphère d'activité des molécoles de Véther lumineux n'est pas extrêmement petite ris-à-vis des longueurs d'ondu-^ latlon.
Le déféloppement (47) de la différence A« peut s'écrire ainsi, les
puissances successives du trinôme Xj~ + 7j- + 2-r- étant supposées dé-
venons d'obtenir par des calculs d*actioiis moléculaires, c'est-à-dire
et
at
- W m. — —{^ o*» 3t*y* ou x*Y ou z^xy)
= a«tx* 0« ^xsyy 00 •«xjy OO a„^,
qaelfi tr a la mène valeur, o'esUà-dire en tout les pointe de chacun dat
ti h c
plans Y. = r^ + T^ + T'> tous normaux à la direction déterminée par
les trois cosinus -^ -» -; et ils redeviennent aussi les mêmes, à un même
ft K K
instant, lorsqu*on passe de ee plan à un antre qui lui soit parallèle et qui en soit éloigné de
EnGn, ils redeviennent encore les mêmes lorsqu'on fait crottre à lajbù la ligne V (mesurant la distance des plans k rorigine) et le temps c, de
àv l s quantités Ât et A/, telles que ■---=— =7-; ce qui fait que le mouvement est dit à ondes planes^ d'une longueur ou épaisseur
se déplaçant parallèlement à elles-mêmes avec une vitesse de propm^ gation
susceptible de trois valeurs numériques. Cette vitesse a pour chacune deux directions opposées, vu que l'équation du troisième degré fournit le carré de s.
Or l'expression (e), débarrassée de^ — i et divisée par A3=^«*+6*-4-c'
et par r = ^x* -t- y' -4- »•> n'est autre chose que le cosinus de l'angle formé par la ligne de jonction r des deux molécules m et m, et par la
THÉORIE GÉAÉRALB BB l' ÉLASTICITÉ. ^OI
en supposant avec Cauchy que s'il y a, ayant les déplacements, symétrie par rapport à un pian perpendiculaire aux Xy il répond, au moins moyennement, k chaque molécule m située d'un côté de ce plan à une distance x, une molécule égalesituéedeTautre côté à unedistance — x, et pour laquelle y et s sont les mêmes; en sorte que
toutes les sommes W dans lesquelles x entre à une puissance impaire s'annulent comme composées de termes égaux deux à deux et de signe contraire.
Et si la même symétrie existe par rapport à des plans perpendiculaires aux jr et aux z, les formules (5o) se rédirection ( T> T> T ) ^® ^* Dormale aux ondes planes. En appelant i cet angle, on a
(a X + &y + e%)^^i = kr cosi^^i = air ooe^ j^ — i-
Ses paissanoes supérieufes à la seconde ne peuTent être négligées dans
les déTeloppements qu'autant qu'on peut négliger celles de r-9 rapport
des distances r des molécules qui sont dans la sphère d'actîTité Tune de l'autre, aux longueurs d'ondulation dont les travaux des Physiciens ont donné la mesure endix-millièmes de millimètre. 11 faut donc conserver les termes d'ordre supérieur au second dans les séries de Taylor, telles
r que («), si le cube du rapport j du rayon d^aciivité moléculaire à la
* longueur d'onde n'est pas négligeable; et l'on conçoit que certains phénomènes ne puissent s'expliquer qu'autant qu'on les conserve, ainsi que Coriolis le fit remarquer le premier à Êauchy.
Ce que nous venons de dire dans cette note est extrait principalement du tome f ( 1840) des Exercice* d^Àaafyte et dé Phyti^e maihémeti^me, pages I et i5o.
On y reviendra dans un autre ouvrage, où se trouveront résumés les nombreux et importants travaux de Cauchy sur la théorie de la lumière, travaux dont l'accord avec les résultats acceptables de ceux de Fresnel se trouve établi aux n^* 17 à 24 d'un Mémoire sur la distribution àet 'élasiicités autour deekmque point, etc., présenté le 16 mai i863 {Comptes remduty i. LYl, p. 475), et inséré in extenso en i863-i864 au Journal de M. Uomnlle.
duisent à
'XX
Pxx
du dif dw\ dx dy dt j
*xxxx
du dx
dv
div
xxTT
ày
jxia
dz
du
= p'rx -+- (ax,« -h plx) -ji^ -h (a,^^ — /?lx) -^
dlr
/Vr ^^ /''S ^^ ^^' expressions semblables;
. c/c . dw l dv du'\
dv div
i y» ®^ /'x^ = ^'^^ expressions semblables (*];
c'est-à-dire aux formules (33)
Pxx = a<>x H- f ' D^ -f- e'D„ . . . , /?y- z= d . gy.,, . . . ,
réduites à six coefficients en effaçant les accents, mais en ajoutant les termes affectés des pressions normales primitives pl^, p^jj, pi,.
On voit que la triple symétrie primitive entraine la nullité des composantes tangentielles avant les déplacements, ou
Pj% = o, plx=^ o, plj = o-
Si, de plus, la con texture est symétrique autour d'une droite dite axe d^élasticité [**) VLx mené parallèlement
( * ) Ces formules sont identiques avec ceUes ( ijg) et ( So) de la page 33o de la troisième année des Exercices, en remplaçant a •-xm •*» » • *■•
pxx* Pjy Pi» P*' LA, QA. RA, PA, GA, ha, IA.
("*) Eo i8a8(Cxercice«, troisième année)» Gauehy appelait am«a d^élastieité d'autrea lignes, savoir les intersections mutaelles des trois plans de symétrie ou plans principaux d'élasticité.
THÉORIE GÉNÉRALE DE l'ÉLASTIGICÉ. ^oS
aux X par le point M ( r, j^, z ), on a
non-seulemeol a^^^ = a„„, a^xx = a„„, Pjjr = p[
mais encore «^//r/ =^ ^ ^77» >
car les somtiies W doivent conserver la même valeur
quand, à la place des projections y, z des distances moléculaires r sur les droites M/, Mz parallèles auxy» aux z, on met leurs projections y', z' sur deux nouvelles droites fixes My', M ^' perpendiculaires entre elles et à Ma:. Or, en prenant celles-ci, pour plus de simplicité, bissectrices des deux angles droits de M^, M^, on a
d'où, substituant dans l'expression (49) de a^^,. :
dû-
a^jn
rr: ^ C iw -^.1 [f* — 2y'»2" H- z'^)
— 7 y'^^mr ^*/r"/'
OU précisément la relation annoncée ^j^jy = 3 a^^»*
Lorsque l'élasticité ou la contexture est la même en tous sens autour du point (:r,y, z)^ tous les plans qui s y coupent sont plans principaux ou de symétrie, et toutes les droites qui y passent sont axes d'élasticité; et Ton a
Appelons alors
po 1& pression primitive plx = . . . , alors nécessairement normale et égale en tous sens -,
G le coefficient a ,.^. = . . . , désigné généralement par cette lettre, parce qu'il est ce qu*on nomme le coeflBcient d^élasticiié de glissement (ou de torsion) dans la théorie de la résistance des matériaux ; noas avons les formoies suivantes qui s'étendent à tons le corps sMl est homogène [et alors il est aussi isotrope et possède à la fois tous les genres d'homogénéité (n^ 274, note)],
(du d» div\ ^ l^dm éf diiv\
(du dç dw\ ^ (du ^dp ,
(du dp dw\ [du dp ^diiv\
et
Quand Tétat primitif est l'état naturel, ou quand la pression primitive
elles sont identiques avec les formules (a5) ci-dessus où l'on ferait
ou avec celles (35) où Ton ferait
(*) Cm formales complètes (58) du cas dlsotropie rerienneBl à C6U«8 (5a) de la page 33 1 de la troisième année des Bxereieet. llaSs, il faut le dire, Caachy leur tf donné nne forme qoi prèle ftcfaeoseBiit
THÉORIE GÉnÉRALB DE l' ÉLASTICITÉ. ^oS
283. Preuve directe et élémentaire des vingt et une égalités entre les coefficients a ou de leur réduction à quinze distincts, — Il n'est pas, au reste, nécessaire de se
à méprise. Dans le but, sans doute, de justifier et de vérifier le résultat de ses recherches de 1833 antérieures certainement à toutes celles de Poisson, et basées, comme on a vu, sur une hypothèse qu'il a dû modifier en 1838 (n^ 266 ci-dessus), il a posé {Exercices, troisième année, p. 23 1 )
Gh-/>,= -A, g— ;», = K, d'où G= — j— , p.= — — , ce qui change les formules (58) en
A — aK ,du ^ /du d^ dtv\
c*est-à-dire dans les formules (26) arec p^= -^ — ajouté aui trois
composantes normales p^^, p^, ;»„.
Il est fâcheux, disons-nous, qae des formules comme (a5) et (58 his),
relatives à deux cas différents^ aient été ainsi rendues semblables par les
mêmes notations
qui représentent dans les premières de toutes autres quantités que dans les dernières f puisque, dans le cas de celles-ci, il y a des pressions antérieures p^ qui étaient supposées ne pas exister dans le cas des premières» et qui seules causent, dans (58) et (58 his), la dualité des coefficients.
Et ce qui augmente la confusion, c'est qu'on trouve, aux pages ao4 et 3o5 de la même troisième année des Exercices^ des formules semblables à (58&ii), mais sans leurs termes constants, et qui, par une autre similitude de notations, paraissent encore représenter les composantes de pression A, B, C (ou p^^ p , p^) après les déplacements, tandb que ce
sont là de simples désignations abréviatives destinées & donner une forme simple aux trois équations d'équilibre, et qui ne représentent par le fait que les excès
de ces pressions sur les pressions primitivéh (G A, HA, 1 A de Canchy), et que les différentiations font disparaître. C'est ce qui a fait penser à un habile et regrettable Physicien que les
yo6 STATIQDB.
livrer aux calculs analytiques ci-des6U8 des actions moléculaires, ni d'invoquer le théorème général du n^ 277 oà Ton remplace les actions réelles s'exerçant à travers une face par des actions fictives émanant toutes de son centre M, pour prouver la réductibilité des coefficients a à quinze. Un raisonnement très-élémentaire, fait sur les actions réellement et effectivement en jeu, suffit pour prouver que si les pressions pj:jpy p^y, . . . , p^^j sont dues entièrement aux dilatations et glissements d^, d^, . . . , g^^, ou s'il n'y avait pas de pressions antérieurement aux déformations, et si n désigne la direction de la normale à Fun des trois plans coordonnés, ou même i une face quelconque, les coefficients de D^ et de g^, dans V expression
formules relatives aux corps où il n'y a point de pressions dans Tétai primitif, ou avant les déplacementSi peuvent être à deux coefficients indépendants A et Ky lors même qu'on les base sur le calcul ^es actions fonctions des distances entre molécules. On peut Toir aux pages 37 et 39 du Mémoire de feu Wertbeim, Sur V équilibre des soUdes homogènes du lo i»* Trier 1848 (Annales de Chimie et de Physique^ 3* série, t. XXIII), lea conséquences plus que singulières où il s'est trouvé conduit par la tentatrre de concilier sa proposition de formules nouvelles avec la théorie moléculaire. ( On peut consulter aussi nos notes sur les Levons de Pfavier, Appendice V.)
Nous avons dû signaler cette circonstance, parce qu'elle a donné ouverture à une confusion qu'un Rapport fait en i85i (3 mars. Comptes rendas, t. XXXII, p. 3a6), sur les travaux do Wertheim, nous semble fait pour accroître. La possibilité queCauchy s'efforce d'y établir, contrairement à ses beaux travaux de i8a8 à iSijS, de plus de quinse coefficients a indépendants ou inégaux, ne regarde, comme il en convient, que les solides cristallisés & structure périodique régulière (id^m, p. 329 et 333); elle ne s'applique donc pas aux corps Isotropes, nécessairement incristainsés ou à cristallisation confuse ; rien n'y prouve, ainsi, que les formules d'isotropie puissent être à deux coeffitrients, non compris la pression antérieure ^g.
Et d'ailleurs, il n'est pas difficile de voir que la structure cristalline ne peut altérer les égalités de coefficients que d''une manière insensible. Poisson, qui a traité le même sujet ( Mémoire sur l'équilibre et le monument des corps cristmlUséSfliï le q8 octobre 1839, i. XV1I1 des Mémoires de i'^lnstitut, publié en 1849), réduit (art. 37 deson Mémoire) les coeffidenti à quinie pour les corpa eriatalUsés comme pour ceux qui ne le sont pas.
THÉOniE GÉMÉRALB DE l'ÉLASTICITÉ. non
de la composante /7o„ parallèle aux x, de la pression sur cette face, sont nécessairement les mêmes rcspccfii'ement que les coefficients de g^^, de g.^^ dans Vexpression de la composante p^^de la même pression parallèlement aux y, ou qu'on a, avec ]a notation adoptée au n^ 269 pour ces coefficients :
aijx.rr any.xrj ^ajc.yt 8
aj' . »x •
En efTet, i" une dilatation d^. n'est autre chose qu'une déformation qui éloigne les uns des autres les plans perpendiculaires à la coordonnées^ de quantités égales à leurs intervalles multipliés par la petite fraction d^ ; elle allonge la distance r de deux molécules m, n {Jig* 60) comme si, la première m restant fixe, l'autre cheminait, parallèlement aux y^ de démultiplié par Pinlervalle des deux plans perpendiculaires à y passa«kt par 171 et par tt, on ninhipUé par la projection de r sur les y, c'est-à-dire comme si n cheminait de
Et un glissement g^^r n'est autre chose qu'une déformation faisant glisser les uns devant les autres, dans le sens y y les plans perpendiculaires aux jr, de quantités égales à leurs intervalles multipliés par la fraction trèspetite %^j \ il allonge la même distance r = mn comme si, m restant fixe, n cheminait, parallèlement aux 7, deg^^ multiplié par l'intervalle des deux plans perpendiculaires aux X qui passent par m et par n, ou multiplié par la projection de r sur les x\ c'est-à-dire comme si n cheminait de
Ces petits cheminements de n, de même direction tons deuX; étant l'un et l'autre projetés sur une même ligne, savoir mn prolongée, donnent deux allongements de mn
IJOS STÂTIQDB.
qui sont entre eux comme
^J,co•(/■,/) et g.^COS{c, j:).
Les BctioDs développées entra les molécules m, r, dans la direction mn, par cea deux déformatioDS, suivent le mËme rapport. Si I'od décompose ces actions, la première suivant les x, la deuxième suivant les^, on a des quantités proportionnelles respectivement k
S^cos(j-, j-)co»(r, x) et g^cos(r, j)cos(r, /),
et par conséquent k
Donc, comme les composantes de pressions /ï.i el p.^ sont des sommes de pareilles forces, s'exerçant entre les mêmes molécules à travers la mime face, on voit bien qne /),, a le même rapport avec >>^, si cette dilatation engendre seule la pression, que p,j avec g,^ si elle n'est engendrée que par ce glissement. Autrement dit, le coefficient de dedans /investie même que celui de g,^ dans /).^, c'est'à-dire qu'on a
a** De même, une déformation qui lait glisser les uns devant les autres, parallèlement aux k, de gj, multiplié par leurs intervalles, les plans perpendiculaires aux y; allonge mn = r comme si, m restant fixe, n cheminait parallèlement aux z de
»«', =Er.-'-co9(r,j-)i
et une déformation qui fait glisser, aussi parallèlement aux z, de g„ multiplié par leurs distances ou intervalles, les plans perpendiculaires aux x, allonge mn ^ r conune si, m resUnt encore fixe, n cheminait toujours parallèle-
THÉORIE GÉMÉRÀLB DB L*ÉL4STICITÉ. 7O9
ment aux z de
Ces deux déformations développent donc, entre les deux molécules, des forces proportionnelles à g^. cos (r, ^) ^ À g«xCOs(r, .r); forces qui, estimées la première suivant les x^ la deuxième suivant les^, donnent des composantes proportionnelles â
g^,cos(r, j)c08(r, jt) et à g„cos(r, J7)cos(r, y)^ c'est-à-dire à
Donc, comme les composantes ^.«i p^y de pressions supposées dues respectivement au seul glissement g^. et au seul glissement g„ sont sommes de pareilles forces, leurs rapports à ces glissements générateurs sont égaux, et Ton a bien
anx.T* anr.sr»
11 en résulte qu'o/i peut faire permuter à volonté Vune des deux premières sous-lettres des coefficients dé' signés par a au n° 269, av^ec Vune des deux dernières, sans changer les valeurs de ces coefficients^ ce qui donne non-seulement les six égalités complémentaires (3i) mentionnées d'avance au n^ 270, savoir :
mais aussi, en faisant de doubles permutations, les quinze égalités (3o) démontrées autrement par George Green.
Nous pensons donc qu^on peut regarder comme bien établies les vingt et une égalités deux à deux des coefficients a, ou leur réduction
à quinze dans le cas le plus général de contexture: a dix quand il y a un plan de symétrie ; à six quand il y a trois pareils plans;
^r/" ^jriri^
^XXJX
^U-ÏJt,
^XX// ^XfXff
^xx/s — a^xx/j
^Xfzx
aj7/»»
^zsxr — ^jtsxi
à trois quand il y a un axe d'élasticité; à un seul quand il y a isolropic.
Et si des expériences sur des corps non fibreux ni cristallisés paraissent ne pas s'accorder tout k fait avrc les formules [(58) sans les /7o] à un seul coefficient G, au lieu d'employer, pour les expliquer, des formules d'isotropie à deux coefficients indépendants telles que (a5) ou (35) qui ne feraient que donner le change en fournissant un expédient plus commode que rationnel, il convient, dans le cas où le défaut d^ accord persisterait après discussion des expériences, de reconnaître que tous les solides, même coulés, tels que le verre, la fonte de fer ou le laiton, peuvent offrir en divers sens des degrés divers d'élasticité, et de recourir aux formules de nonisotropie à trois, à six, etc., coefficients (*),
Tel est le parti qu'on doit prendre dans les applications numériques.
Quant aux recherches purement analytiques, il n^y a sans doute aucun inconvénient à conserver, avec Grcen, vingt et un coefficients a dans le cas le plus général, d'où respectivement treize, neuf et cinq dans les cas de symétrie conformément aux formules (32), (33), (34); enfin deux (form. 35) pour Tisotropie, afin d'arriver à des résultats indépendants d'opinions encore aujourd'hui diverses, et parce que l'on reconnaît que les calculs ne sont pas pour cela plus compliqués ni' les théorèmes plus difficiles k déduire; mais il faut se défier des facilités que cela peut donner pour certaines explications (**). '
284. Établissement des formules et ries équations de r élasticité par les méthodes de la Mécanique analytique
(*) YojreSf pour une discu8Bion trèa-dévcloppée et l^apprédatîon des expériences, TAppendice V de la nouvelle édition (i863) des Leçons de Mécanique appliquée de Navier, . ("**) Notamment dans la théorie do Ya lumière (fin du numéro saiv.\
THÉORIE GÉHÉKALE DE l' ÉLASTICITÉ. 7 II
de Lagrange. Potentiel des actions moléculaires. — Beaucoup de choses encore pourraient être dites sur le sujet intéressant et tout moderne de cette Leçon et de la précédente, même sans sortir des généralités.
Nous nous contenterons de rapporter la manière, sensiblement difTérente de celle qui précède, dont les géomètres anglais et allemands arrivent aux équations et aux formules de Féquilibie d élasticité.
Cette manière avait été employée, au début, par Navier (^), en fondant la branche importante de la Mécanique dont nous nous occupons. C'est celle de Lagrange, consistant à poser, pour le système de points mobiles que Ton considère, une seule équation d'équilibre, au moyen du principe des travaux virtuels, en représentant d*nne manière générale les petits espaces virtuellement ou hypothétiquement parcourus, par des ^variations ou des différentielles par S des coordonnées nouvelles j: + u,y -h ^, z -t- w (n® 275) des points, c'est-à-dire par âu^ îv, $w (puisque les variations des coordonnées primitives «r, /, z sont nulles) ] puis, par les plus simples règles du calcul des variations, à tirer de cette équation à la fois celles qui s'appliquent à tout l'intérieur du système et celles qui conviennent seulement à ses limites^ car cette méthode, comme l'observe Green '^), a le très-grand avantage, pour les problèmes relatifs aux systèmes d'un nombre immense de particules agissant les unes sur les autres, de conduire nécessairement et presque sans soin [with little care of our part) à toutes les équations de condition justement nécessaires et suffisantes pour la complète solution des problèmes.
(*) &ur les Lois de l'Équilibre et du Mouvement des solides élasli^ueSf lu le 14 mai 1821 (t. VII de Vlnslilut).
{^*) On the Laws of the Réflexion and Réfraction qf Light (déjà cite), p. 2.
y m 8TÀTIQDC.
Aussi, plus compliquée en apparence, cette méthode est souvent plus simple en réalité que celle qui consiste à établir séparément les diverses équations. On sait qu'elle a été appliquée avec succès, dès i8a8 et 1829, par Green {^) et par Gauss (**) aux problèmes de la distribution de Télectricité statique et à ceux des phénomènes capillaires, en l'employant sous une forme légèrement différente de celle de la Mécanique analytique de Lagrange^ car ces illustres savants composent de prime abord (ce que Navier avait déjà fait à peu près) cette quantité qu'ils ont appelée \dL fonction potentielle (***) ou le Pofenfie/ (****), qui représente le travail total des forces en jeu depuis un état arbitraire jusqu'à Tétat actuel ; quantité qui doit être un maximum ou un minimum quand cet état est celui de Téquilibre, en sorte qu^il n'y a plus qu'à prendre sa variation ou sa différentielle par i pour avoir la somme des travaux virtuels à égaler à zéro (*****).
{*) An Essay of the Application of Analyùs to ihe théorie oj Electrieitjr, and Magnetismyhj GeoTfre Green, 1828 (Mémoire réimprimé aux t. XXXIX» XLIV, XLVIÎ, de Crelle ).
{**) Principia generalia theorim Jigurœ Jbtidorum in statu œquilihriif oo Mémoire sur la théorie des phénomènes capillaires^ traduit par-M. Bertrand t. XIII ( 1848) du Journal de M. Liouville, p. i85.
( **^ ) An Essay of the application, etc. Préface, et Obsenrationa introductrices.
C^*^**) Gauss et Wbbee, Résultats aus.*.. Résultats des Expériences de V Union magnétiqjie pour l'année 1839, p. 4*
(*****) C'est celle que Lagrange représente par
n= r(P<^H-Qii7-h...)= V ÇiXdx-i-Ydr-hZdt).
Elle a une signification philosophique qui explique son rôle important, car on peut la regarder (prise en signe contraire et augmentée d*une constante que la différentiation fait disparaître) comme représentant le pouvoir moteur que possède une force à partir de la situation actuelle du mobile sur lequel elle agit, c'est-à-dire le travail total qu'elle est capable de fournir jusqu'à une situation pour laquelle elle s'annule; travail qui
THÉORIE GÉNÉRALE DE L*ÉLASTIC1TÉ. yii
Il est facile de voir tout d'abord que les six équations les plus générales, tant indéfinies (9) que définies (10) de l'équilibre intérieur, sont toutes contenues dans Téquation unique, ainsi composée, exprimant la nullité du travail total des forces agissant sur un corps ou portion quelconque de corps élastique
(60) i ^ f j f dxdxdz{pXSu -h pYSv -h pZSw)
— j dù,[p cos (/?, x)$u* -\- p cos (/?, y) 9^/
-hpcos{p^ z)^tv^] = o,
dépend non-seulement de son intensité moyenne, mais encore de retendue plus ou moins grande de son champ d'action, ou de l'espace que le mobile peut parcourir avant que cette force, variable avec la distance du centre d'action dont elle émane, cesse d'avoir une intensité sensible. Elle est la même que ce qu*Ampére appelait Ihjbree vive implicite {Annales de Chimie et de Phy tique , avril i835)et JeaU'Bernoulli \aijaeulte d'agir (Œuvres, t. m, p. 339), ou ce que sir W. Thomson appelle ( Com/7t^i rendus, 38 mai i855, t XL, p. 1197) Vênergie potentielle qui, ajoutée à Vénergie actuelle ou puissance vive (demi-force vive), forme l'énergie mécanique totale d'un système de corps ; énergie dont les réservoirs partiels sont par exemple, d'une part, un poids élevé, un ressort tendu (Bernoulli), une quantité de combustible (Lagrange, dernier article de la Théorie des Fonctions analytiques) et, de l'autre, une masse en mouvement.
On appelle quelquefois aussi ce potentiel ybnc/ion deforce^ parce que ita dérivée par rapport à une coordonnée quelconque donne la composante, dans son sens, de la force totale qui agit sur le point pour lequel on la considère. Aussi se confond-elle, lorsque les forces sont en raison inverse des carrés des distances r, avec ce potentiel analytique V de Laplace, que l'on considère dans les théories des attractions, soit planétaires, soit électriques et qui, se composant d'une somme de masses divisées par les premières puissances des distances, satisfait à une équation diflerenlielle
d*y rf«V d^V dx'- "^ ~dF '*"d^ '~^'
(Làplacs, Mécanique céleste, 3* partie; ouClausius, Die Poiengial/unctîon),
71 4 STATIQUB.
OÙ les deux intégrales triples sont étendues à toute celte portion de corps sur les points de laquelle agissent, par unité de masse, la densité étant py des forces dont les composantes sont X, Y, Z, et où l'intégrale simple est étendue à toute la surface enveloppe il sur les diverses parties de laquelle agit une pression p par unité superficielle, et où nous appelons u', u\ w' les valeurs particulières de
u, *^5 W5 ce qui est sous le premier signe \ \ \ exprimant évidemment, d'après ce qu'on a vu au n^ 270, la variation ou la dijGTérentielle par à du potentiel des forces moléculaires intérieures, ou de cette fonction dont la différentielle complète par d est le travail de compression, dilatation ou déformation d'un élément dxdjdz pour des augmentations infiniment petites de ces changements. En eifet, mettons à la place de d^, d^, . . . , g^^^ leurs valeurs (37) en fonction de ces déplacements m, i^, w supposés très-petits, nous avons, en effectuant les diilérentialions par $ et changeant les id en /id,
^ d^u fi$p . doiv
dx ^ dy dz
^ dêv ditv - d$ii' d$u dSu dèv
dz dj **" dx ' dz ""^ dy dx
Substituons et intégrons par parties, en remarquant avec Lagrange [Mécanique analytique^ n°* 29 et 30 de la Section VII de la première Partie) (*), qu'en appelant n la direction de la normale à la surface enveloppe, on a, auprès de cette surface,
dydz = ± d£i cos (d, x) ;
(*) Ou bien voyez Leçons sur l'Élasticité (i852) de M. Lamé, $ 10, p. 33.
THÉORIE GÉftÉRALE DE l'ëLASTIGITÉ. JlS
en sorte que la portion / i dydzpj^j^du de Tinlégrale double qui est détachée de T intégrale triple
fff
dx dy dzpt^
dx eu intégrant par parties, est la même chose que
</acos (riy x)èu\
étendue à toute la surface A, et ainsi des autres \ nous obtenons, en nous bornant aux termes atïectés du déplacement fi qui est u' sur la surface A,
/ do. [/?„ cos ( n, x) -f- Pjj cos (n, j^) -f- p., cos ( n, s)
Et l'on aurait des termes analogues affectés de $i^^* dw'^ dp*, âw sous les signes d'intégration. Vu l'arbitraire de ces variations ou changements virtuels, on doit égaler à zéro tous les quadrinômes entre crochets, ce qui donne bien les six équations générales d^équilibre (9) et (10) [*), " Mais on peut, par cette même méthode, déterminer
(") Réciproquement ou peut (en opérant à peu près comme a fait M. Lamé pour démontrer le théorème de Clapeyron, Leçons, J 31, p. 81) déduire de ces six équations d'équilibre l'expression (28) ci- dessus du triTail élémentaire dT des forces intérienros, ou, ce qui revient au môme, la parenthèse p^^ ^ J), -f- . • . -4- ;»„ fg^ du premier terme de (60), exprimant le travail virtuel des mêmes forces par unité do volume des éléments dxé^às. En effet, ajoutons ensemble les trois équations d'équilibre (9) multipliées respectivement par ^ir, S%fy <^w, puis multiplions le tout par dxâfds et intégrons pour tout le corps, en supposant nulles les forces telles que la pesanteur représentées par pX, pY, pZ dans ces équations. Le terme / / / -4^ iu,dxdydt deviendra, en faisant l'intégra-
même la forme des expressions des composantes de pression en fonction des déplacements, ou bien établir les six équations d'équilibre sans parler des pressions.
Ainsi Navier, qui regardait (ainsi qu'on a dit aun^28i, p. 696) les actions entre molécules, après des augmenutions très-petites r, — r de leurs distances mutuelles r, comme égales à des produits (r, — r)fr de ces augmentations par une fonction /' de leurs disUnces primitives,
tion par parties et désignant par les accents ' et " les Taleurs do p et de u OUI deux extrémités d'une parallèle aux x traTersaiit le corps
ffird. (^.^ J»--^,., iu') -fffp„ ^ dx4rd..
Or le premier terme reyient, eomme on l'a vu tout à l'heure, à / d£l cos(n, x)p^^ iu't ou à la somme des travaux virtuels des com-
posantes ^„co8(n, x) des pressions extérieures sur toute la surface du corps, pour les déplacements u' parallèles aux x; et le second terme revient à — / / / dx^dtp^i^^. Les intégrations par parties d'autres
termes donneront, des travaux virtuels d'autres composantes de la pression sur la surrace, plus des termes tels que
En réunissant tous ces termes on aura bien l'équation (60) des travaux virtuels.
On aurait trouvé, arec M. Lamé, la même équation (60) avec u, »*, w et D, , <)^ ,<).,.. . g au lieu de ^u, iv^ Sw ci Je),, J^-r • • • ^gxr* *» l'on avait multiplié les équations (9) par u, v^ (v au lieu de Jir, Sv^ iw avant de les ajouter. Mais observons qu'on n'aurait pas eu ainsi les travaux de déformation dus aux déplacements totaux très-petits mais finis u, v, w\ car les forces p^^, •••*?„ ^^ ^"^ point constantes pendant que ces déplacements s'opèrent; elles commencent par zéro et n'acquièrent que lorsqu'ils sont opérés les valeurs pour lesquelles elles figurent dans les équations. Et si des pressions extérieures agissaient constamment et dés le premier instant avec l'intensité que les pressions intérieures acquièrent graduellement et possèdent définitivement dans l'état d'équilibre, elles feraient dépasser cet état et produiraient une puissance vive, puis un travail double.
TBéomE GÉHÉmALE DB l'ÉLASTICITÉ. 717
posait pour le travail ou moment virtuel de Tune de ces forces par unité de masse des deux molécules
(r. - r)/V Sn = (r. - r)/V ^ (r. - r) =/'r $ l^lZLÎi! •
en sorte que le potentiel des actions exercées sur une molécule unique m, par toutes les molécules m environnantes, se compose d'une somme de produits
mm - — (r, — /•)',
qui s'écrit, si l'on met pour = ^r «a valeur ( 14 ) ou
(47 his) ci-dessus, et si l'on désigne par W cette somme
relative à toutes les molécules m qui agissent sensiblement sur m
Smr^ ffiu , dv , eitv ,
(d» dif\ fdw du\
rt ^rs
/du dp\ T
En développant et en considérant que les neuf dérivées -r-9 • • • » -r- sont sensiblement constantes dans l'éox az
tendue très-petite de la sphère d'activité de m qui comprend ces molécules m, on a, pour le potentiel
rx ^1 . •
dtf dw ^ mr'^f r , , djr dz \J a -^
CryCr»'» • • •
</tf fdv dw\ O nir^/'r ,
^ar \£fe djr J
71 8 8TÀTIQ1TB.
Navier y remplace les divers coefBeients se présentant
sous la forme de somme W9 par des intégrales prises
dans retendue de la petite sphère, au moyen de coordonnées polaires^ et, comme il se borne aux corps isotropes, il est conduit à annuler tous les coef6cients dans lesquels un des cosinus c entre avec une puissance impaire, et il n^a en définitive qu^un seul coefficient sortant de Tacco-
lade, la première des sommes ^ étant trouvée triple de
la seconde.
Alors, diflérentiant par d (en faisant varier k, i^, tv et non pas .r, J^ ^) pour avoir le travail virtuel, puis remplaçant la petite masse m d'une molécule par la masse p dxdydz de toutes celles qui sont contenues
dans un élément du corps, et mettant f i f an devant,
il a une intégrale triple en x,y^ z exprimant la somme des travaux virtuels des forces intérieures pour tout le corps, comme Texprimait tout à riieiire la première de celles de Téquation (60) ; d'où, en intégrant par parties, et transformant comme nous venons de faire, il tirait les trois équations indéfinies [(Sp) pour K = o] et les trois équations définies du n^ 24^ celles-ci comprenant impli* citement, sans qu'il ait parlé de pressions, les formules des six composantes [(58) pour p^ = o]
(^ du dv dw\ /du di>\
\ dx djr dz ) Xdy dx)
multipliées respectivement par les trois cosinus des angles (n, o:), (u,y), (n, z) faits avec les coordonnées par la normale n à la surface.
Poisson a combattu un pareil emploi de la méthode de Lagrange, en avançant que le calcul des variations n'était point applicable à ces sortes de recherches. C'était
THÉOBiB gCnéhale DE l'élàsticité. yip
une consëquence exagérée de sa jasle remarque que les résultantes d'actions de molécules disjointes ne doivent point être converties en intégrales (n^ 281). Il est facile de
voir, en effet, que la conversion reprochée des sommes W
de Téquation (55) n'était nullement essentielle à la méthode. Navier aurait pu leur conserver leur forme telle que nous Pavons écrite, ou bien (comnoe nous avons fait au
n« 282) mettre g ^x*, g ^ y» z»,..., et étendre
ainsi son calcul à une contexture quelconque^ sauf à démontrer, pour la contextm^e isotrope, Tannulation de quelques-unes, et (comme on a fait au n^ 282 pour ^xjrxx = ^^xx^rr) ^^ rapport numérique 3 : i des autres. C'est ce qu'à fait M. Neumann, de Halle, dans un beau Mémoire inséré en octobre 1 65g au Journal de Crelle (*)j où il donne en même temps aux forces moléculaires leurs valeurs complètes (n^ 278)
de manière à tenir compte des actions et des pressions antérieures aux déplacements. M. Neumann arrive ainsi, en tenant compte du changement de la densité^ etc., et en se bornant (ce qui n'était pas obligé) aux corps isotropes, précisément aux équations obtenues par Cauchy, et finalement par Poisson [et résultant de la substitution de (58) dans (9) et (10)].
Green procède un peu autrement. Attribuant, comme Fresnel et Cauchy, la propagation de la lumière aux actions entre les particules de Téther, et reconnaissant tout d'abord, comme celui-ci, que leurs vibrations dans les cristaux doués de la double réfraction ne sont pas
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(*; Zur Théorie der Elasiicitàt; LVII« Cahier, /|« lÎTraison, p. 281.
.^aO STATIQUE.
toujours parallèles aux plans des ondes comme celui-là le supposait constamment, mais roulant, dit-il (^), « pour ne pas s'engager dans des considérations trop compliquées et sans chance d'application pratique, borner son analyse aux milieux oà ce parallélisme s* observerait ri^ goureusement » (ce qu'avant tout examen il suppose pouvoir se concilier avec l'hétérotropie), il se détermine à rejeter les formules à quinze eoeflScients fournies a Cauchy par l'hypothèse, trop restrictive smuant lui, « que les actions s'exercent suivant les lignes de jonction des particules », et en raison de fonctions de leurs distances; et il invoque, vu, continne-t-il, notre ignorance de la véritable loi, et effectivement dans le but de pouvoir disposer de coefficients en plus grand nombre, «t un principe plus général » ainsi énoncé : « que si l'on multiplie les forces intérieures par les éléments de leurs directions respectives, la somme des produits est diffe^ Centielle exacte d^une certaine fonction », évidemment celle qu'il a appelée potentielle (on le potentiel) dans un Mémoire sur un autre sujet. Mais il ne se contente pas de cette hypothèse, qui en effet ne saurait suffire, et qu'il ne peut même formuler analy tiquement, puisqu'il professe d'ignorer les directions dçs actions '.non-seulement il pose le potentiel (f fonction des trois allongements subis par les côtés d'un élément parallélipipède primitivement rectangle, et des trois cosinus des angles qu'ils forment entre eux, c'est-à-dire des six quantités que nous avons appelées
<^sf ^x9 do g^«, g,«, g^;
mais encore il admet que cette fonction est développa-
(*)Onthe Law* qf Réflexion and Refraction qfUffit (Cambridge TrantactioHSy Tol. VII, p. 5), et On the Propagation of L^t in cristallised Media (id., p. 136).
THÉORIE GÉMÉRALE DE l'ÉLASTICITÉ. 72 1
ble swv^ant les puissances entières i, a, 3,. .. de ses six variables, ce qui est tout gratuit, ou bien ce qui s'appuie tacitement (a^267) sur]e principe des actions à dislance qu'il a voulu éluder comme ne conduisant pas au but où il désirait arriver. Green supprime les puissances troi* sième et au-dessus à cause de la petitesse des variables, et ne conserve que les secondes, parce qu'il trouve que la somme des valeurs, pour tout le corps, de la partie affectée des premières puissances, doit être nulle quand on part d'un état d'équilibre naturel ou sans pressions antérieures. Le potentiel f se réduit ainsi à nne fonction homogène du second degré des six variables D^^, ..., g^^.; fonction à vingt et un termes (six affectés des carrés, quinze des produits deux à deux), et par conséquent à vingt et un coefficients, qu'il réduit, au reste, par le moyen de raisonnements comme ceux des n^' 271, 272, 273 ci^ dessus, très-simples alors, à neuf, à trois, à deux, selon qu'il y a trois plans de symétrie, un axe de symétrie, ou isotropie de la matière. Du potentiel ainsi constitué il tire les équations indéfinies de l'équilibre, et les équations définies donnant les six formules de composantes de pressions.
Cette manière de l'illustre physicien anglais est large et simple. Mais elle s'appuie sur une suite d'hypothèses singulières, et en tous cas bien moins justifiées que n'est la loi physique des actions entre molécules suivant leurs lignes de jonction,- loi qui, de toute manière, est inévitablement invoquée sans qu'on l'avoue, et dont on ne saurait s'affranchir sans mettre en doute toute la mécanique, même mathématique, puisque cette science attribue à toute force un point d'application où elle se dirige, et, nécessairement aussi, un /7omt d'où elle émane, vti la réaction qui accompagne toute action. Aussi son raisonnement ne prouve nullement que les formules de I. 46
l'élasticité aient jamais plus de cjuinze coefficients indépendants les uns des autres, outre les six composantes de pressions antérieures aux déformations. On a démontré ailleurs (Mémoire du i6 mars i863 déjà cité à une note du numéro précédent, et aussi, §§ 69, 72 de l'Appendice V des Notes de la nouvelle édition de Navîcr) que les quatorze conditions posées par Green dans son second Mémoire entre les coefficients pour qu'il y ait parallélisme des vibrations aux plans des ondes (conditions reproduites comme celles de biréfringence ^ sans être mieux motivées, dans un ouvrage plus récent et estimé) ne font qu'exprimer VisotropiCy qui exclut précisément la biréfringence. On y a fait voir que ce parallélisme, supposé par Fresnel, n'était nullement nécessaire pour arriver, même exactement, à la surface d'onde qui résume la partie principale et la mieux confirmée de ses immortelles découvertes; que l'on obtenait cette surface en posant, entre les coefficients, des conditions moins nombreuses et plus générales, laissant subsister à tel degré qu'on veut dans les cristaux l'inégalité si probable et l'on peut dire certaine des élasticités directes i^xxxx^ a, y,.,., a„„) suivant deux ou trois sens. Or cela consiste à revenir *aux résultats des premières recherches de Cauchy présentées en i83o, puisque ces conditions, au nombre de quatre, sont celles qu'il a indiquées, et qui, malgré la complication apparente de l'une d'entre elles, sont en définitive ce qu'il y a de plus simple et de plus naturel ] car, ainsi qu'on Ta également montré, elles ne font qu'exprimer une certaine distribution ellipsoïdale des élasticités directes en tous sens autour de chaque point, c'est-à-dire, à cela près de quantités négligeables, le mode de distribution qui doit avoir lieu dans les corps ou les milieux élastiques primitivement isotropes qui ont été comprimés inégalement dans trois sens, ce qui est
THÉORIE GérfÉRALE DE L'ÉLASTICITÉ. 7^3
l^état où tous les physiciens admeilent que se irouve î'élher lumineux dans rintérieur des cristaux biréfringents (*), C'est ainsi que les travaux du grand analyste, mieux étudiés et compris, conduisent à expliquer rationnellement les faits, et à confirmer ce qu'il y a d'acceptable dans la théorie de Fresnel, tout en la rectifiant dans les points évidemment défectueux et erronés*, et, sans doute, une étude suivie et approfondie des travaux de ses dernières années conduira, sur des points délicats et peu explorés, à des explications et à des découvertes à peine prévues aujourd'hui.
( *) C'est aussi l'état où doivent être tous les solides amorphes ou à cristallisation confuse, tels que les métaux forgés ou coulés, les pierres et les autres matériaux des constructions et des macliines, lorsque leur contexture n'est pas la même en tous sens autour de chaque point. Pour ces corps, ainsi qu'on l'a dit aux n^* 13 à 16 du Mémoire cité sur ta Distri^ bution des élasticités (Journal de M. Liouville^ août à décembre i863} et au n9 3 du Mémoire sur les divers genres d'homogénéité, formule (3) (Journal de M. Liouvillr, septembre et octobre i865), ainsi qu'aux $$ 76 et 90 des Appendices à l'édition de Navier de i86/|, il faut, en employant
ef les formules de pressions (33) du n^ 271 ci-dessus (p. 665), écrire 3-^ j
fd de 3 — 9 3 -r- à la place de a, b, c, en effaçant les accents de d', e', ('. Les e I
formules d'hétcrotropie réduites ainsi à ne plus contenir que trois paramètres d, e, f ne violent point la loi inévitablement invoquée des actions moléculaires (n^ 283), comme font les formules illusoires d'isotropie à deux paramètres (35), et permettent, bien mieux que celles-ci, d'expliquer les faits d'élasticité des solides usuels, quand ils no peuvent l'être par les formules d'isotropie vraies à un seul paramètre ou coefficient, c'est-à-dire par les formules (35) où l'on fait e' = e. Aussi je pense que ces formules de distribution ellipsoïdale à trois paramètres sont pratiquement importantes et devraient être généralement appliquées.
