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Lee p^ remplaçant toajoan les expresaiooB (26), avee (V)) snbstitiiét à d«, . • . gs^j e^est-à-dlre

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du remplaçaDt axra« 3 — [-•••->- ^tx^

/du d9\

et ainsi des antres; à diiSBreiitier sans faire varier lesooefaciente a (par le raison qu'on Tient de donner pour les p*).

On donnera au n^ 283 les particularisations de cette équation.

280. Établissement des équations indéfinies d^équilihre sans passer par le calcul des pressions, — Mais Cauchy a obtenu ces équations d'équilibre d^une manière directe sans passer aucunement par la considération des pressions, en posant simplement (comme avait fait, au reste, Navier dès i8ai pour un cas particulier) les conditions d'équilibre d'une des molécules du corps (*),

Soient pour cela :

m cette molécule, dont les coordonnées primitives étaient jc,-;^, -z;

xH-w, j'-J-i', z-f-wce que ces coordonnées sont devenues après un déplacement très-petit de m; ^

m une quelconque des molécules environnantes qui sont dans sa sphère d'activité, ou qui exercent sur elle une action sensible;

r la distance primitive de m à m ;

Ti ce que cette distance est devenue, Tj — r étant supposé très-petit vis-à-vis de r; ,

X + X, y + y, js + z les coordonnées primitives de m ;

X -h M -hx -h Au, y -h t'-h y H- Al', z -h w H- 2 -h Aw ses coordonnées après les déplacements ;

/ la caractéristique de la fonction de la distance r ou r^ exprimant l'action de m sur m ;

Xq, Yo, Zo, Xi, Yi, Z| les forces considérées au numéro précédent.

Si ^ désigne, comme aux n^* 277 et 278, une somme

relative à toutes les molécules m comprises dans la sphère d'activité sensible de m, l'équilibre de cette dernière molécule, ou la nullité des sommes de forces qui agissent sur elle, décomposées dans les sens x, y, z, exige qu'on ait

(") Exercices de Mathématiques, troisième année, p. 188-aia; et enf uite. Exercices d'analyse et de p^si^ue mathématique, t. l*' et suiTaote.

THÉORIE GÉBÉRALB DE l'ÉLÀSTICITÉ. 69I

Avant les déplacements

m W /lî -fr -f- mX« = o,

(53) < m Wm -/r-f- mYg = 0,

f m Ww -/r-f- mZ, =0.

1^ Après les déplacements (en divisant tout par m)

Sx -4- A« ^ ^ ^ jn yr, -h Xo 4- X, r=z o, r,

/n ^-^:— /r, -f- Yo -4- Y. = o,

Substituons (45), ou

nous aurons, en effectuant les multiplications, et effaçant, comme très-petits du second ordre, vu la petitesse supposée de </, v^ w, les carrés et les produits de Au, At/, A%v, les trois équations d^ équilibre suivantes^ dont on a retranché ce qui se détruit, eu égard aux équations (53) de r équilibre primitif:

W/if I ■— A«-h(x»A« -+-xyAj'4-xzAiv)-— - j 4-X,=o,

\ ^\fn \ — A«'-l-(xzAtt-f-yzAp4-z*A«') — -- j-hZ,=o.

6pa STATIQUE.

Mettons-y à la place de Au, Ai^, Atv, les expressions (47) qtie fournit la série de Taylor à trois variables, en conservant maintenant les termes du second ordre, tels que

(^^^ x« + .. . + a ^:^ xyj , qui ont pu être n^ligës

dans le calcul ci-dessus des pressions. Nous pouvons faire

passer hors des signes W les dérivées de u, l'y iv, qui sont

toutes relatives au point m (x, jr, z) du corps considéré.

Les neuf dérivées du premier ordre — j ^5 • • • » ■^' se

trouveront multipliées par des sommes qui sont relatives i Tétat primitif du même corps, quant aux grandeurs des distances r et de leurs projections x, y, z\ sommes qui ont les formes diverses suivantes

d^ d^ dt

et dans les termes desquelles les petites lignes x» y, z, projections de la distance primitive r de m à m sont, on seules, ou engagées dans des puissances ou produits du troisième degré. Ces sommes se composent, comme le remarque Cauchy (*)) de termes affectés de signes contraires, quand ils sont relatifs i deux molécules m situées de part et d'autre de la molécule m sur une même droite quelconque menée par cette molécule centrale. EUles sont toutes nulles si le corps est naturellement homogène (n^ 274) et si les forces X^, T^, Z^ qui agissaient sur lui n'ont pas altéré Tégale distribution moyenne des

(*) Exercices de Mathémeti^uetf troisième année, p. 197.

THÉORIE GÉNÉRALE DE l' ÉLASTICITÉ. 6^3

molécules dans la direction de chaque droite. Elles sont

. . 1 ^ , du fia dfv

extrèmenieut petites, et leurs produits par — > ;t-v-j -t-

sont négligeables, si, comme on le suppose, ces mêmes forces X^^ T^, Z^ n'avaient pas une intensité assez considérable pour altérer d'une manière sensible Thomogénéité, ou si la contexture primitive, bien que pouvant être non-bomogène, ou changeant sensiblement de nature d'uue extrémité à Tautre d'un corps de dimensions finies, ne varie ainsi que graduellement ou insensible* ment à des distances imperceptibles, comme sont les distances r := mm où s'exercent les actions moléculaires. Effaçons donc ces termes du premier ordre. Resteront ceux du second ordre, c'est-à-dire ceux qui sont affectés des trente-six dérivées secondes