VX»-|-Y»-|-Z»=:P±:P'±:P

par conséquent,

et les cosinus des angles formés par la force R avec les demi- axes des coordonnées positives deviendront

cosa, cosp, C0S7;

donc la résultante R sera équivalente à la différence des deux sommes ci -dessus mentionnées, parallèle à toutes les forces du système, et dirigée dans le sens de celles qui composent la plus grande somme.

Il reste à déterminer la droite suivant laquelle elle

COMPOSITION DES FOftCES PARALLELES. QQ

agit 9 c'esi-à-dire la suite des points auxquels on peut la supposer appliquée. Or, si Ton désigne par

les coordonnées de Tun de ces points, on aura nécessairer ment

R(ïjco67 — Çcosp)t=L,

B((cosa — SCO87) = M, R(Çcot^ — î)COSa) = N,

et IW en conclura , en substituant à L, M , N leurs valeurs ,

Kn C0S7 — RÇcosp = {Pj±:Py±. . .)cos7

— [PZ± P'2'±...)C0Sp,

RÇ cosa— RÇco»7 = (p3±:P'z' db. . .)cQSa

— (PxiP'jr'lt ..)co87, RÇcosp — Riï cosa=(Pj:±:P'a:'±: ..)co5p

— (PjdtPydl. . .jcosa;

ces trois dernières équations sont celles de la droite suivant laquelle agit la résultante. On y satisfera, quelles que soient les valeurs des angles a, /3, 7, si l'on suppose

l RÇ = Px±P'x'±. ., (6) < Kn==Py±P'y±.. ,

' RÇ — PzdiP'*'

et Ton déterminera ainsi des valeurs de |, lo , ^ indépendantes des angles dont il s'agit.

58, Concevons maintenant que les forces P, P, P', . . . restant toujours appliquées aux mêmes points viennent à tourner autour de ces mêmes points, sans cesser d'cire parallèles. Les valeurs des coordonnées ^y n^ ^ déterminées par les équations (6) ne varient pas; et le point unique auquel appartiennent ces coordonnées est ton-

lOO STATIQUE.

jour» un des points auxquels la résullante R peut èlre appliquée. Ce point unique est ce qu^on appelle le centre (les forces parallèles P, P', P", .... On ne doit pas oublier que les forces P, P, P', . . . peuvent agir les unes dans un sens, les autres en sens contraire, que la force P est du nombre de celles qui , agissant dans un même sens, composent la plus grande somme, et que dans les équations qui donnent soit la résultante R, soit les coordonnées de sou point d'application, chacune des forces P, P, P', . . . est précédée du signe -\- quand elle agit dans le sens de la. force P, et du signe — dans le cas contraire.

L<*s produits d'une force par les coordonnées de son point d*appIication sont ce qu'on appelle les moments de cette force par rapport aux plans coordonnés. Ainsi

Pjt, Pj, Pz

sont les moments de la force P par rapport aux plans des yz, des zx, des xj. Cela posé, il suit évidemment des équations qui donnent |, ^9 ^^ que si Ton calcule par rapporta Tun quelconque des plans coordonnés, 1*^ les moments des forces parallèles P, P, P'',. . . ; a^le moment de leur résultante R appliquée au centre des forces parallèles, ce dernier moment^scra équivalent à la somme des moments de tons les autres pris tantôt avec le signe +, tantôt avec le signe — , suivant que les forces correspondantes agissent dans le sens de la résultante ou en sens contraire.

Si Ton supposait les points d'application P, P, ..• tous situés dans le plan des zj^ on trouverait

cl, par suite,

donc alors le centre des forces parallèles serait luimême situé dans le plan des yz. Comme on peut d'ailleurs

lOM POSITION Dt:h rOîlCKS l'ARALI-î Li:s. lt)|

prendre pour plan drs yz un plan quelconque, nous devons conclure généralement que, si les points d'application de plusieurs forces parallèles sont situés .dans un plan unique, ce plan renfermera aussi le centre des forces parallèles. On pourrait encore arriver directement à la même conclusion de la manière suivante.

Les points d'application des forces P, P, . • . étant supposés tous compris dans un seul plan , concevons que de l'origine on abaisse sur ce plan une perpendiculaire, puis désignons par h sa longueur, et par l^ m y m ^ les angles (|ue sa direction forme avec les demi-axes des coordonnées positives. Le rayon vecteur mené de l'origine au point du plan qui a pour coordonnées x, y, z formera évîdemmenl avec la direction de la perpendiculaire un angle dont le

cosinus sera

X cos / -h r (OS m -4- z i*ns n

et comme, eu projetant ce rayon vecteur sur la direction Je la perpendiculaire, on devra évidemment retrouver la longueur A, on aura nécessairement

jr ces i -{- y cos /w -H z cos /i = A ;

or cette dernière formule, lorscju'on y considère x, ^ , z comme variables, n'est pas autre chose que l'équation générale d'un plan présentée sous la forme la plus utile dans les applications.

Dans la question qui nous occupe cette équation doit être satisfaite non-seulement lorsqu'on choisit pour x, j-, z les coordonnées du point d'application de la force P, mais encore lorsqu'on remplace ces coordonnées par u'',j', 2', ou par ocf\y>i 2", . . , etc. 5 on aura donc à la fois

X cos / "h y «.os m -h z cos n :=: k ^ X cos / 4-^ ' cos m 4- 2' cosn = / , .r"cos/ -h^"cc»s//j \ z" cos/j ^=^ f* , etc.

lOa STATIQL'E.

Concevons maintenant que Ton ajoute eulre elles les équations qui donnent ^, yi, ^, après avoir multiplié la première par cos/, la seconde par cos m, la troisième par cos/z, on trouvera, en ayant égard aux formules qni précèdent,

R (Çco8/-h >î cosm + Çcos/ï) = (Pdb P'± P^'dr. . . ) ^* = ï^ ^»

el, par suite,

Ç cos / -h »ï cos /w -f- Ç cos /i = /• ;

donc les coordonnées ^^ >7, ^ satisfont à Téquation du plan qui contient les points d'application des composantes , et, par conséquent, le point d^application de la résultante ou le centre des forces parallèles se trouve lui-même dans ce plan .

Si les points d'application des forces parallèles P, P',. . . se trouvaient à la fois situés dans deux plans donnés, ou, en d^autres termes, sur la droite qui résulte de leur intersection, le centre des forces parallèles se trouverait situé dans ces deux plans et par conséquent sur cette droite»

Lorsque les forces P, F, F',. . • agissent toutes dans le même sens^ les équations qui donnent R et les coordonnées ^, 77, Ç deviennent

R =:P 4-P' H-P" H-...= 2P, RÇ =Px-+.PV+ P'V'^. . .= 2Px, Rïï î=: pjr -f-py ^-p'^y ^- . . . =: 2Pr ,

RÇ = Px+P'z'-i-P''2'' + ...= 2Pz.

Donc alors la résultante R équivaut à la somme d(^ forces données; et si l'on conçoit cette résultante appliquée au centre des forces parallèles, son moment par rapport à chacun des plans coordonnés sera la somme dis moments des autres forces. On a, en outre,

, ïP.r i?y :Pr

(7) ^ = TF^ "^TF* ^^TF'

COMPOSITIOJV DES FOECES PARALLELES. Io3

Lorsque les forces données se réduisent à deux, on a

(P±:P')Ç=rPjr±:P'x',

(P±P')« = Pr±P'/, (P±:P')i; = Pt±P'«',

et Ton en conclut, i^ en supposant que les deux forces P, P agissent dans le même sens :

P Ç — jt' « - 1

[(x-Ç)'H-(j-,)»-H(z-Ç)'f ' a" en supposant qu'elles agissent en sens contraire :

Il résulte de cesderuières formules nou-seulemeul que le centre des forces parallèles P, V est situé sur la droite qui joint leurs points d^application , mais encore que les distances de ce centre aux points dont il s'agit sont réciproquement proportionnelles aux intensités des deux forces. De plus, le centre des forces parallèles est ou nVst pas situé entre les deux points d'application suivant que les deux forces agissent dans le même sens ou en sens contraire. On pourrait arriver directement à ces résultats par des considérations géométriques.

En efiety prenons pour exemple le cas où les deux forces agissent dans le même sens. Soient Â, A' (fig* ^^) l^urs points d'application, AB, A'B'les longueurs qui les représentent. Portons sur les prolongements de la droite A A' deux forces Q égales et directement opposées^ ces nou-

velles forces étant représentées par les droites AC, A'C, contruisons les parallélogrammes ABCD,'A'B'C'iy, dont les diagonales prolongées se rencontreront en un point E ; enfin menons la droite EF parallèle aux droites AB, A'B'. Comme Tadjonction de deux forces égales, opposées et agissant aux deux extrémités d'une même droite, ne change rien au système, les deux forces parallèles A6, A'B^ pourront être remplacées par les deux résultantes AD, A'iy. De plus on pourra transporter ces deux résultantes au point E, ou les remplacer par deux forces EH, EH' qui leur soient respectivement égales -, chacune de ces deux forces, à leur tour, pourra être remplacée par ses deux composantes £G, EK, EG', EK' suivant les droites EF et GG' parallèles à AB et AA^ Aux deux forces parallèles doniiées on peut donc substituer les quatre forces EG = AC, EG' = A'C, EK = AB, EK' = A'B'. Mais les deux premières EG, EG' sont, par construction, nécessairement égales et opposées, elles se détruisent, par conséquent, et on peut les supprimer. Les deux secondes, au contraire, EK, EK', sont dirigées dans le même sens, suivant la même droite, et s^ajoutent^ la résultante des deux forces données est donc dirigée suivant EF et égale à la somme

EK-f.EK' = AB-hA'B'.

On a d'ailleurs, évidemment,

lEF AR EF A/£ aF *"BD' A'F^BD''

et, par suite, à cause de B'iy = BD,