SIXIÈME LEÇON

Composition d*nn Bystème de forces parallèles. — Résultante et moment linéaire de la résultante. — Résultante unique ou couple. — Centre des forces parallèles. — Application à la pesanteur.

57. Considérons un système de points liés invariablement les uns aux autres. Soient toujours

Xs *> '"^ t X * f . .

les coordonnées de ces mêmes points, et supposons qu^on leur applique des forces

dirigées suivant des droites quelconques. Enfin désignons à l'ordinaire par

les angles que ces différentes forces forment avec les demiaxes des coordonnées positives, et par

les sommes que Ton obtient en ajoutant : i® les projections algébriquesde toutes les forces ; a° les projections al-gébriques de leurs moments linéaires. On aura, comme l'on sait,

X = Pcosa + P' COS a' -f- P" ces a" -h . .., (i) { Y = P cosp -4- P' cosf -H P" cosp" H-. . . ,

Z =:Pcos7 4-P'coS7'-f-P"coS7''4-.. ., L = P(7-cos7 — z cosp) H-. . .,

(a) { M=:=P(zcosa — arcosy) -f-. . .,

N = P(xcosp— /cosa) +. . ..

COMPOSITION DES FORCES PARALLÈLES. pj

De plus, les forces P, P^, . . . étant dirigées suivant des droites parallèles, les angles (i\ |3', y' sont égaux aux angles oc, j3, y ou à leurs suppléments, suivant que les deux forces agissent dans le même sens ou en sens contraires. On trouvera par suite

cosa' = ±cosa, cosS' = rt:cosp, cos7' = ±cos7,

le signe supérieur devant être préféré dans le premier cas et le signe inférieur dans le deuxième. On aura de même

cosa'' = ± ces a, CCS p" = ± cos p, cos 7" = dbcos 7 . . . . Cela posé, les équations (i) et (^) deviendront

(3) \ Y=:(P±P'±:P"±...)t'"sp,

•( Zr=(P±P'dtP"=iz...)cos7,

/ LzrrlPrdzF/dt ..)cos7-(p3±P'2'±...)cosg,

(4) ) M=(P»±P'z'±:...)cosa — (P:cdzP'a;'±...)c0S7,

I N = {Pjr±P'x'±.. )cosp — (Pj±P'^'±:..,)cpsa,

et Ton en conclura

IL cosa H- M cos P -f- N cos 7 = 0, LX-f-MY-i-NZ = o, X^ + Y'-hZ' = (P±P'±P"±:...)'.

II suit de la seconde de ces équations que le système dos forces données sera réductible à une résultante unique ou h on couple. Il pourra évidemment se réduire à un coup1(! dont le moment linéaire aura pour projections algébriques les <|uantités L, M, IN, si Ton a

• X'-4-Y*4-Z'=o, ou, ce qui revient au même,

Pd:P'±P"lt...rr.O,

p8 STATIQUE.

c'est-à-dire, en d'autres termes, si la somme des forces

parallèles dirigées dans un sens équivaut à la somme des

forces dirigées en sens contraire. Dans la même bypo-

thèse, le plan du couple sera, en vertu de la première des

équations (5), parallèle à chacune des forces données, et

par suite on pourra supposer les deux forces du couple

parallèles à toutes les autres. Si , au contraire , les deux

sommes dont nous venons de parler sont inégales ^ on

trouvera

et le système proposé sera réductible à une résultante unique

formant avec les demi -axes des angles dont les cosinus

seront

Ajoutons que si la force P est du nombre de celles qui composent la plus grande somme, la somme P=i:P'±:F^.. sera positive, et Ton tirera de la dernière des équations (5)