SEPTIÈME LEÇON

Application de la théorie des forces parallèles au cas de la pesanteur. — Définitions : verticale, pesanteur, poids, masse, densité. — Corps homogènes et non homo(jèncs.— Densité constante ou variable. — Déter* mination des volumes, des surfaces, des arcs de courbes. — Calcul de la masse renfermée sous ces volumes, ces surfaces, ces arcs.

59. Tous les corps de la nature sont pesants ou tendent à se précipiter vers le centre de la terre, sous l'action d'une force qu^on appelle pesanteur. Lorsqu'on suspend un corps à un fil parfaitement flexible, de manière à former un fil à plomb, le fil se tend en ligne droite, ou prend une direction rectiligne que l'on prouve èlre celle de la pesanteur, ou suivant laquelle la pesanteur s'exerce* La direction du fil à plomb ou de la pesanteur s'appelle la verticale du lieu: prolongée en haut et en bas jusqu^à la voûte céleste, elle marquerait deux points qu^on a nommés le zénith sur notre tête et le nadir sous nos pieds; elle est aussi perpendiculaire ou normale à la surface des eaux tranquilles ou des fluides en repos et libres. Tout plan, toute ligne perpendiculaire à la verticale, parallèle à la surface des eaux tranquilles, est un plan horizontal^ une ligne horizontale^ un plan ou une ligne de niueau. Si la terre était sphérique et formée de couches concentriques uniformes, l'attraction qu'elle exerce sur tous les corps pourrait être censée s'exercer du centre, la verticale serait le prolongement du rayon terrestre, ou, prolongée dans l'intérieur de la terre, elle irait passer par le rculrc. Il nen est pas tout à fait ainsi, mais néanmoins

PESANTEUR ET CENTRE DE GRAyiTÉ. IO7

les verticales prolongées passent très-près du centre de la terre, et, parce que ce centre est très-loin, parce que le rayon de la terre est très-grand, relativement au^ dimensions des corps dont nous étudions les conditions d'équi* libre ou de mouvement à la surface de la terre, les direc* tionsdes actions exercées sur les divers points d'un même corps, ou les verticales menées par les divers points du corps peuvent être regardées comme parallèles, de sorte que la théorie des forces parallèles s^applique naturellement k la pesanteur.

Nous avons déjà dit que lorsqu^un corps pris à l'état de repos est soumis à Faction d'une force, il en résulte, dès le premier instant, une tendance au mouvement; et que si , à cet instant, le mouvement est empêché par un obstacle, ce corps exercera contre cet obstacle un eSbrt que Ton désigne du nom de pression. Nous avons appelé poids la pression exercée par un corps pesant contre le plan horizontal sur lequel il repose, et nous avons pris soin de faire remarquer que les quantités désignées en statique sous le nom de forces ne se manifestent que par des poids ou des pressions ; que cet équilibre entre des poids ou des pressions est le seul qu'on puisse observer dans la nature. Pour retenir le corps lorsqu'il est suspendu à un fil, on est obligé d'exercer un certain effort dirigé verticalement de bas en haut. Cet effort est évidemment égal et directement opposé au poids qui sollicite le corps â tomber suivant la verticale de haut en bas. En faisant varier le point d'attaché, on remarque que l'effort nécessaire pour retenir le fil est le même dans toutes les positions ; et, si l'on regarde plus attentivement, on constatera que la direction du fil passe toujours par un même point du corps qui remplace ici le centre des forces parallèles, et prend le nom de centre de granité ^ cette observation est plus facile à faire lorsque le corps est un prisme très-

plat à bases parallèles ou une masse convexe de substance transparente. Un corps abandonné à Jnî-mênie est donc dans le même cas que s'il était sollicité à se mouvoir par une pression verticale, unique, égale à son poids et appliquée à son centre de gravité.

60. On dit qu^un corps est homogène lorsque toutes ses parties sont de même nature. L*expérience démontre que le poids d'un corps homogène est indépendant de sa forme et proportionnel à son volume, tandis que des corps non homogènes peuvent avoir des poids très-différents sous le même volume. Parce qu'il est naturel de supposer que les corps homogènes renferment des quantités égales de matière sous des volumes égaux, on conclut des observations fournies par Texpérience, comme aussi du raisonnement, que le poids d'un corps est proportionnel à la quantité de matière qu'il renferme ^ etTon explique la différence des poids sous le même volume entre des corps hétérogènes, en concevant que ces corps renferment des quantités différentes de matière sous des volumes égaux.

La quantité de matière que renferme un corps, homogène ou non, est ce que Ton appelle sa masse. Pour un corps homogène, le rapport de la masse au volume, ou bien la masse comprise sous l'unité de volume, est une quantité constante que l'on appelle densité du corps. Pour un corps hétérogène, le rapport de la masse au volume n'est plus une quantité constante, il varie avec le volume du corps, et prend pour un volume donné le nom de densité moyenne.

Soit M la masse d'un corps homogène, V son volume et D sa densité (masse sous T uni té du volume), on aura, vn venu Ac ce qui précède,

^ = 1), on M^DV.

PESAMELR ET CENTKE DE GHAVITÉ. 1 09

Si 1 on fait vaiîcr le volume V, la masse M variera en même temps, mais le rapport de M à V restera toujours le même et égal à la densité D.

Pour un corps hétérogène, le rapport — - n'est plus

constant, et tandis que le volume varie, ce rapport varie aussi. Considérons en particulier, dans cette hypothèse, un des points du corps et une portion de volume qui renferme ce même point. Si cette portion de volume vient à décroître indéflniment, la portion de masse qu'elle ron* ferme décroîtra sans cesse, mais le rapport de la masse au volume ou la densité moyenne s'approchera indéfiniment d'une certaine limite qui ne sera pas nulle en général, et que Ton appelle la densité du corps au point dont il s*agii . Le poids d'un corps étant proportionnel à sa masse, si Ion désigne par P le poids du corps qui a M pour mass( % et par g le poids de Tunité de masse, on aura

- = g^, ou P=gM.

Nous nous réservons d'approfondir ailleurs, dans nos Leçons de Mécanique physique et synthétique, d'après les méthodes d'Ampère, les notions délicates de pesanteur, de verticale, de masse, de densité, etc., que nous venons d'effleurer rapidement. Notre tâche ici, et nous nous empressons d'y revenir, est de montrer comment on peut déterminer analytiquement le volume d'un corps, Faire d'une surface, la longueur d'une ligne, leurs masses et les coordonnées de leur centre de gravité.

61. Si l'on considère une surface plane ou courbe, mais entièrement fixe, la position d'un point sur cette surface se trouvera déterminée par le moyen de deux coordonnées rectangulaires ou obliques, rectilignes ou curvilignes, etc., que nous désignerons dans tous les cas

IIO STATIQUE.

possibles par les lettres

^ et jr;

une ligne quelconque tracée sur cette surface pourra être représentée par une équation dont le premier membre renferme les deux yariables x et jr^ ou au moins Tune d'entre elles. Dans le dernier cas, c'est-à-dire lorsque l'équation donnée renfermera une seule variable x ou jr, nous dirons que la ligne correspondante est de première espèce. Ainsi les lignes de première espèce sont celles qui auront des équations de la forme

/{x) = o, on f(x) = o,

par conséquent celles dont les équations résolues par rapport à Tune des variables se réduiront à

X = constante, ou j^ = constante.

Au contraire nous appellerons lignes de deuxième espèce toutes celles dont les équations seront de la forme

ou, ce qui revient au même,

Ces définitions étant admises, il est clair qu'à chaque valeur donnée de x ou de y correspondra toujours une ligne de première espèce, et que par un point donné on pourra toujours faire passer deux de ces lignes. Nous appellerons lignes coordonnées des x et des jr les deux lignes de première espèce qui ont respectivement pour

équations

yzssOj x = o.

li' origine des coordonnées sera le point d'intersection de ces deux lignes, c'est-à-dire, en d'autres termes, le point dont les coordonnées se réduisent à séro.