PESANTEUR ET CENTRE DE GRAVITÉ. I I I

62. Soit maintenant : p le point qui a pour coordon* nées xeljTy n un second point qui ail pour coordonnées x-h^x^ y+^j\ Ax, Ajr étant deux accroissements très-petits attribués aux variables x et /; et désignons par a la petite aire mnpq (fig. 19) comprise entre les quatre lignes de première espèce qui passent par les pointa p et n. L*aire a dépendra en général des quatre quantités

et s'évanouira toujours en même temps que le produit

car il suflSra, pour la rendre nulle, d'égaler à zéro un des facteurs de ce produit; mais si Ton fait décroître indéfiniment Ax et Ajr, le rapport

convergera vers une limite qui ne pourra plus dépendre que des variables x et y^ et qui, dans plusieurs systèmes de coordonnées, se réduira simplement k une quantité constante. Ainsi , par exemple, on aura, pour un système de coordonnées rectangulaires tracées sur une surface plane,

a = tkxiLX'j

et par suite

Pour un système de coordonnées obliques tracées sur une surface plane et comprenant entre elles l'angle 0,

a = àxàjr sînO,

= SID ô.

àx^jr

Donc, si l'on fait, en général, (i) lim = «,

lia STATiQCÈ.

on aura u = i dans le cas des coordonnées rectangulaires, if=:sin9 dans le cas des coordonnées obliques, etc. D^au très systèmes de coordonnées pourront fournir pour la quantité u, au lieu d'une valeur constante, une valeur variable, c'est-à-dire une fonction de x et de y. Ajoutons qu^après avoir trouvé la valeur de u^ on en déduira sans peine Taire comprise dans un contour quelconque : c'est ce que nous allons faire voir.

63. Considérons d'abord {fig* 20) un contour formé par quatre lignes de première espèce, savoir celles qui passent par le point fixe Mo, dont les coordonnées sont XQ^y^ ^^ celles qui passent par le point variable M, dont les coordonnées sont X, y\

L'aire MM 0 contenue dans ce contour sera variable ellemême, et nous la représenterons en conséquence par

Cela posé, il est facile de voir que si Ton désigne par la caractéristique Aj, l'accroissement que reçoit une fonction de X dans laquelle on fait croître x de Ajr, et par la caractéristique Ay l'accroissement que reçoit une fonction de jr dans laquelle on fait croître y de A^, on aura, en vertu de l'équation (1),

e étant une quantité très-petite.

En divisant les deux membres de Téquation précédente par Ax Ay et passant aux limites, on conclura

dy dx "" "'

OU, dans les notations admises^

En intégrant celte dernière écjualion par rapport à y

PESAHTBUR ET CENTRE DE GRAVITÉ. Il3

à partir de y ^^fa 9 et ayant ^ard à la condition qai doit être vérifiée quel que soit x, on trouvera

Int^rant de nouveau par rapport à a: à partir de x=a7o9 en ayant égard à la condition

qui doit être vérifiée quel que soity, on obtient

X(*>r)= / ^^ / «^r= / / adxdjr. Il est essentiel d'observer que de Téquation

^'X{^>X) = j udy

on tire

par conséquent Ajr;((x, j^), c'est-à-dire Faire comprise d'une part entre les lignes de première espèce qui correspondent aux abscisses x et a; + Ax, de Tautre entre les lignes de première espèce qui correspondent aux ordonnées j'oyj^» est représenté par un produit de la forme

Ax(H-f') r udy,

fl étant une quantité très-petite.

Si l'on fait/ = Y, Y désignant une quantité constante, le produit précédent deviendra

Ax(i-+-e') r wly

Jy.

Il4 STATIQUE.

et représeniera Taire comprise entre les lignes de première espèce qui répondent d'une part aux abscisses x^ X -h Ax, de l'autre aux ordonnées j^o et Y.

64. Concevons maintenant que, Xo désignant toujours une quantité constante, on représente par yô^ Y, non plus deux valeurs constantes de j', mais deux fonctions de la variable Xj et cherchons Taire comprise d^une part entre les lignes de deuxième espèce qui ont pour équation

r=ro, r = Y,

de Tautre entre les lignes de première espèce qui correspondent aux abscisses Xo et a:. Cette aire sera variable avec x, et si on la représente par <p(x), elle recevra pour accroissement A<f(x)^ quand on fera croître x de Ax. Soit pqrs {Jîg. 2i) Taccroissementdont il s'agit renfermé d'une part entre les lignes de première espèce ;7r et qs correspondantes aux abscisses x, jr + Ax, de Tautre entre les portions pq^ rs des lignes de deuxième espèce qui ont pour ordonnées aux points p et q^ jr^ et Y \ il est clair qu'on pourra, sans changer la valeur de Taire pqrs^ remplacer séparément ou simultanément : i^ la ligne de deuxième espèce pq dont l'ordonnée au point p est Y par une ligne de première espèce//^' ; 2^ la ligne de deuxième espèce rs dont Tordonnée au point r est ro par une ligne de première espèce r'/, on aura donc encore

De plus, la ligne /•'/.coupera évidemment la ligne r5, et, par suite, aura une équation de la forme

e' désignant un certain accroissement que reçoit y^ considéré comme fonction de x lorsqu'on fait croître x d'une certaine quantité plus petite que Ax. De même la

PESANTEUR ET CENTRE DE GRAVITÉ. Il5

\\çsïej/(f aura une équation de la forme

Y-f- e^ étant Tordonnée d'un point de la ligne pq correspondante à une abscisse comprise entre x et a: -h Ajc ; cela posé, on trouvera (n** 63)

et par conséquent aussi

6, t et î!' étant des quantités qui décroîtront indéfiniment avec Ax. Si on divise par Ax les deux membres de Téquation précédente, on en conclura, en passant aux limites,

puis en intégrant à partir de x = Xq, et ayant égard à la condition o (x^) = o,

ffx j ndy =1 I udxdjr \

mais il faut se rappeler alors que la première intégration doit être faite par rapport ky entre les limites y^ et Y qui dépendent de la variable x, et la seconde par rapport à X, à partir de la limite x^ qui est une quantité constante.

Si en désignant par j^q, Y deux fonctions de x, et par x<j, X deux quantités constantes, on cherchait l'aire comprise d'une part entre les lignes de deuxième espèce qui ont pour équations

r=/o et r = Y,

de l'autre entre 1^ deux lignes de première espèce qui

Il6 STATIQUE.

ont pour équations

a: = a:, et x = X ,

on trouverait pour la valeur de cette aîre que nous appellerons A ,

A = <p(X)=r f udrifyi

dans le cas particulier où y^^ Y deviennent constantes, la valeur précédente de  se réduit, comme on pouvait le prévoir, à la valeur précédemment obtenue pour

En résumé , si l'élément de surface compris entre les lignes de première espèce qui correspondent aux coordonnées

est représentée par

e désignant une quantité qui décroisse indéfiniment avec Ax, Ay; si, de plus, on représente par j^^, Y deux fonctions de la variable x, et par jCo, X deux quantités constantes, la surface ou aire  comprise entre les quatre lignes de première et de deuxième espèce qui auront pour équations

sera donnée par l'équation

Y udxdy.

Scolie, — Il est essentiel d'observer que la méthode cidcssiis exposée peut servir à déterminer non-seulement la surface comprise entre les lignes que représentent les équations qui précèdent, mais aussi toute autre quantité