NEUVIÈME LEÇON

Des grandeurs coexistantes et des rapports différentiels. — Masses. — Densités. — Masses et densités des Tolumes, des surfaces, des lignes droites ou courbes.

81 . Nous croyons utile de résumer la question intéressante du calcul des volumes, des masses et des coordonnées des centres de gravité, par quelques considérations générales et élémentaires auxquelles M. Cauchy attachait une grande importance, sur lesquelles il est souvent revenu, qu'il a développées une dernière fois dans le second volume de ses Exercices d^ analyse et de physique mathé^ matiqucy pages i88 et suivantes.

Nous appelons grandeurs ou quantités coexistantes deux grandeurs, ou quantités qui existent ensemble, et varient simultanément, de telle sorte que les éléments de l'une existent^ varient et s'évanouissent, en même temps que les éléments de l'autre. Tels sont, par exemple, le volume d'un corps et la masse ou le poids de ce corps ; le temps pendant lequel un point se meut et l'espace parcouru par ce point ^ le rs^on d'un cercle et sa surface; le rayon d'une sphère et son volume; la hauteur et la surface d'un triangle ou d^un parallélogramme ; la hauteur et le volume d'un prisme ou d'une pyramide ; la base et le volume d'un cylindre, etc.

Des grandeurs ou quantités coexistantes peuvent d'ailleurs varier simultanément dans un ou plusieurs sens divers. Ainsi , par exemple, le volume d'un prisme ou d'un cylindre dont la base est constante, varie avec la hauteur dans un seul sens: mais si Ton suppose la hau-

GRAMDEIJRS COEXISTAliTES, RAPPORTS DIFFÉRENTIELS. 1^3

tear constante et la base variable, le volume pourra varier avec cette base dans deux sens dîflerents. De même encore la masse d'un parallélipipède, ou généralement d'un corps quelconque, pourra varier avec ]e volume de ce corps dans trois sens correspondants aux trois dimensions de Tespace, etc.

Cela posé, soient A et B deux grandeurs ou quantités coexistantes qui varient simultanément dans un ou plusieurs sens divers. Concevons d*ailleurs que la. grandeur B soit décomposée en éléments '^

dont les valeurs numériques soient très-petites, et nommons

les éléments correspondants delà grandeur A. Enfin supposons que, l'un quelconque des éléments de la grandeur B étant représenté par &, et l'élément correspondant de la grandeur A par a, la valeur numérique de l'élément b vienne à décroître indéfiniment dans un ou plusieurs sens ^ l'élément a s'approchera lui-même indéfiniment de zéro \

mais on ne pourra pas en dire autant du rapport t' qui

convergera en général vers une limite finie différente de

zéro.

Cette limite est ce que nous appellerons le rapport différentiel de la grandeur A à la grandeur B. Ce rapport différentiel sera d'ailleurs du phsmier ordre, ou du second, ou du troisième, etc., suivant que pour l'obtenir on aura fait décroître l'élément b dans un, ou deux, ou trois,... sens difierents.

Concevons que l'on indique, à l'aide de la lettre M placée devant plusieurs quantités, une moyenne entre ces quantités I c'est-à-dire une quantité nouvelle comprise

entre la plus petite et la plus grande de celles que Ton considérait d'abord : si les éléments

de la grandeur ou quantité désignée par B sont positifs, les éléments'

de la grandeur ou quantité désignée par A pouvant être affectés de signes quelconques , on aura , en vertu d'un théorème connu ,

fli H- fla + » . . + ^„ m/— Î! — \

et par suite les deux équations

B = ^, -4- ^a -t- . . . -f- b^y entraîneront la suivante :

(i) j^ = mI^^,^,...,^V

^^ B ""V^.'*,' 'bj

D'ailleurs cette dernière équation continuera de subsister, si, le nombre n devenant de plus en plus grand, chacun des éléments

devient de plus en plus petit, et alors chacun des rapports

a, aj an

bi ba b^

finira par différer aussi peu que Ton voudra d'une certaine valeur du rapport différentiel. On peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème I. — Le rapport entre deux grandeurs ou

G&ANDBUIIS COEXISTAMTBS9 ILÂPPOETS DIFFÉRENTIELS. I75

quaDtitës coexistantes A et B, dont la première varie dans un ou plusieurs sens avec la seconde supposée toujours positive, est une moyenne entre les diverses valeur» de leur rapport différentiel.

Corollaire, — Le théorème I s'étend évidemment, avec la formule (i), au cas même où la seconde quantité 6 serait toujours négative.

82. Lorsque deux grandeurs coexistâmes varient proportionnellement Tune à Tautre, leur rapport est constant, aussi bien que le rapport de leurs éléments^ et la limite de ce dernier rapport, ou le rapport diilérentiel. On peut donc énoncer encore la proposition suivante :

Théorème IL — Si deux grandeurs ou quantités coexistantes A et 6 sont entre elles dans un rapport constant, ce rapport constant sera aussi leur rapport différentiel. La proposition inverse peut s'énoncer comme il suit :

Théorème III. — Si le rapport difiéreutiel de la grandeur ou quantité A à la grandeur ou quantité constante B est constant, ce rapport constant sera aussi celui des grandeurs ou quantités elles-mêmes.

Démonstration, — Supposons d'abord que la grandeur B, ^tant positive, puisse être considérée comme uniquement formée d'éléments positifs. Alors le théorème III sera une conséquence immédiate du théorème I; et par suite, si Ton noipme p le rapport différentiel des grandeurs A et B, on aura

Ajoutons qu'en vertu du corollaire du théorème I l'équation (li) subsistera encore, si la quantité B, étant

n^ative, peut être considérée comme uDiquemetit composée d^éléments négatifs.

Supposons, en second lieu, la grandeur ou quantité B formée d'éléments dont les uns soient positifs^ les autres négatifs. On pourra la décomposer en diverses parties

Bf Tiff n*

dont chacune soit considérée comme uniquement formée d'éléments affectés du même signe ; et, en nommant

A. j «Il y jHL y • • • ,

les parties correspondantes de la grandeur ou quantité A, on aura, en vertu de Téquation (2),

par conséquent,

A' = pB', A''=pB", A'nrpB*',..., et

A'-hA"4-A*4-... = p(B' + B"-|-B*'-H...).

ou, ce qui revient au même,

(3) A = pB.

Or cette dernière formule entraine évidemment Téquation (a).

Corollaire, — Si le coefficient difiérentiel p est constamment nul, Téquation (3) donnera simplement

On peut donc énoncer encore la proposition suivante :

Théorème IV. — Une grandeur ou quantité s'évanouit toujours, lorsque le rapport différentiel de cette