SI M M M

, le rapport constant •== 9 ou —» ou -^f sera la densité

constante du corps, ou de la surface, ou de la ligne donnée. Soient, dans la même hypothèse, m l'élément de la masse M, et i^, ou a, ou 5, l'élément correspondant de la quantité Y, ou A, ou S. La densité constante du corps, ou de la surface, ou de la ligne donnée, pourra encore être

* représentée par le rapport —9 ou —9 ou — 9 ainsi que par«

la limite de ce rapport. Cette densité constante sera donc le rapport différentiel de la masse M à la quantité V, ou A, ou S.

Supposons maintenant que la masse M varie, par exemple, avec le volume V, mais sans lui être proportionnelle.

IVf m

Alors les rapports t? et ~ pourront différer Tun de Fautre

et représenteront ce qu'on nomme la densité moyenne du corps sous le volume V ou sous le volume v. Si d'ailleurs le volume élémentaire ^ change graduellement de forme, sans jamais cesser de renfermer un certain point P du corps que l'on considère, et si, en vertu de Ce changement de forme, les trois dimensions du volume viennent à décroître indéfiniment, la masse élémentaire m décroîtra I. 12

indéfiniment avec le volume élémentaire (^ ; mais le rapport—9 ou la densité moyenne du corps sous le volume ^,

convergera en général vers une certaine limite différente de zéro. Or cette limite, qu^on nomme la densité du corps au point P, représentera évidemment pour le même point le rapport différentiel de la masse au volume. En d'autres termes, ce rapport différentiel est la limite vers laquelle converge la densité moyenne d'un élément infiniment petit, appartenant au corps que Ton considère et renfermant le point P.

Pareillement, si la masse M ou m, concentrée sur une surface ou sur un élément de surface, varie avec Taire A ou a de cette surface ou de cet élément, sans être propor-

tionnelJe a cette aire, le rapport ---ou — représentera ce

qu^on nomme la densité moyenne de la surface ou de Félément dont il s'agit. Soit maintenant P un point renfermé dans la surface élémentaire a ; et concevons que les deux dimensions de cette surface élémentaire décïY>îs- ' sent indéfiniment sans qu'elle cesse jamais de renfermer le point P. La masse élémentaire m décroîtra indéfiniment

avec a; mais le rapport—» ou la densité moyenne de

Télément de surface, convergera en général vers une certaine limite diflerente de zéro. Cette limite, qu'on nomme la densité de la surface au point P, ne sera autre chose que le rapport différentiel de la masse M à Faire A, calculé pour le point P.

Pareillement encore, si la masse M ou m, concenti^ sur une ligne ou sur un élément de cette ligne, varie avec la longueur Sou s de cette ligne ou de cet élément , sans être

proportionnelle à cette longueur, le rapport — ou — re-

iJ s

GRANDEURS COEXISTANTES, RAPPORTS DIFFÉRENTIELS. l^Q

prësenlera ce qa on nomme la densàc moyenne de la ligne ou de Félément dont il s^agît. Soit maintenant P un point situé sur la ligne élémentaire s ; et concevons que cette ligne décroisse en longueur sans cesser jamais de renfermer le point P. La masse élémentaire m décroîtra indéfiniment avec s ; mais le rapport — ou la densité moyenne de la ligne élémentaire convergera en général vers une certaine limite différente de zéro. Cette limite , qu'on nomme la densité de la ligne au point P, ne sera autre chose que le rapport différentiel delà masse M a la longueur S, mesuré au point P.

Si l'on applique successivement le théorème I aux masses, aux vitesses, aux pressions hydrostatiques, etc., on obtiendra les propositions suivantes :

Le rapport de la masse dun corps à son volume est Mine moyenne entre les densités correspondantes aux divers points de ce volume.

horsqiiune masse est concentrée sur une surface ou sur une ligne, le rapport entre cette masse et l'aire de la surface ou la longueur de la ligne est une moyenne entre les densités correspondantes aux dii^ers points de cette surface ou de cette ligne.

Lorsqu'un point mobile parcourt une ligne droite ou coufbe^ le rapport de V espace au temps est une moyenne entre les vitesses que le point mobile acquiert successive^ ment dans ses diverses positions sur cette ligne.

Lorsquune surface est pressée par un liquide pesant,

le rapport entre la pression totale et Vaire de cette sur^

face est une nwyenne entre les diverses valeurs de la

pression hydrostatique cotrespondantes aux divers

points de la surface.

Ces diverses propositions justifient les noms de densité moyenne, de vitesse moyenne, de pression liydrosia-^

l8o STATIQUE.

tique moyenne, précédemment donnés aux divers rapports qui s^y trouvent mentionnés.

84. Le rapport différentiel d^une grandeur à une autre n'est un rapport constant que dans le cas où ces deux grandeurs sont proportionnelles Tune à Tau ire. Dans le cas contraire, non-seulement le rapport différentiel des deux grandeurs est variable , mais il peut varier dans un ou dans plusieurs sens suivant que la seconde grandeur peut varier elle-même dans un seul sens ou dans plusieurs sens divers. Il en résulte quun rapport différentiel peut être fonction d'une ou de plusieurs variables indépendantes. Ainsi en particulier, si la seconde grandeur est une ligne, ou une surface, ou un volume, le rapport différentiel sera généralement déterminé pour chaque point de la ligne donnée, de la surface donnée, ou du volume donné. Mais il pourra varier d'un point à l'autre et dépendre des coordonnées de ce point, savoir : d'une seule coordonnée si la seconde grandeur est une ligne , de deux coordonnées si la seconde grandeur est une surface, de trois coordonnées si elle est un volume.

Concevons maintenant que les deux grandeurs coexistantes A et B puissent varier simultanément dans deux, trois, • . . sens divers. On pourra en dire autant de leurs éléments correspondants \ et l'on obtiendra pour limite du rapport entre ces éléments un rapport différentiel p, du premier, du second, du troisième^ . . . ordre, qui sera une fonction de une, deux, trois, . . . variables indépendantes. Dans un grand nombre de cas , le rapport différentiel p est une fonction continue des variables dont il dépend, c'est-à-dire une fonction qui prend une valeur unique et déterminée pour chaque système de valeurs attribuées à ces variables , et qui varie avec elles par degrés insensibles. Dans cette hypothèse, si un élément b

GRANDEURS COEXISTANTES^ RAPPORTS DIFFÉRENTIELS. l8l

de la grandeur B devient infiniment petit dans tous les sens, on pourra dire en quelque sorte qu'à cet élément h correspond un seul système de valeurs des variables indépendantes , et par suite une seule valeur de p. Mais aux diverses parties de la grandeur B, ou plutôt à ses divers éléments infiniment petits, correspondront divers systèmes de valeurs des variables indépendantes, et par conséquent en général diverses valeurs de p. Les limites, entre les« quelles les variables devront rester comprises dans ces divers systèmes, dépendront de la valeur attribuée à la grandeur B ; et, si la grandeur B est toujours positive, ces limites s'étendront de plus en plus avec cette valeur même.

Supposons , pour fixer les idées , que la seconde grandeur soit une aire ou un volume, et nommons P un point quelconque de celte aire ou de ce volume. La position du point P se trouvera déterminée par deux ou trois coordonnées qui seront les variables indépendantes. Cela posé, prenons, dans la seconde grandeur, un élément infiniment petit qui renferme le point P, et divisons par cet élément l'élément correspondant de la première. Le quotient obtenu différera généralement très-peu de sa limite, qui sera le rapport différentiel de la première grandeur à la seconde, correspondant ^ point P. Ajoutons que ce rapport différentiel, variable avec les coordonnées du point P, en sera, dans beaucoup de cas, une fonction continue. D'ailleurs les divers systèmes de valeurs de ces coordonnées, correspondants aux divers éléments de Taire ou du volume que Ton considère^ devront être censés connus dès que Ton connaîtra cette aire ou ce volume; et les limites, entre lesquelles resteront comprises les valeurs des coordonnées dans ces divers systèmes , seront évidemment déterminées par les équations des lignes qui envelopperont cette aire ou de la surface qui enveloppera ce volume.

l8a STATIQUE.

Lorsque, la seconde grandeur étant toujours posilive, le rapport différentiel p est une fonction continue des variables dont il dépend, et par suite varie avec elles par degrés insensibles, une moyenne entre les diverses valeurs de p correspondantes aux divers éléments de la seconde grandeur est encore nécessairement l'une de ces valeurs. Donc le théorème I entraine la proposition suivante :

Théorème V. — Si le rapport dîfférenliel d'une première grandeur à une grandeur coexistante et toujours positive est une fonction continue de la variable ou des variables dont il dépend, une des valeurs de ce rapport différentiel correspondantes à la seconde grandeur représentera le rapport qu'on obtient en divisant la première grandeur par la seconde.

Corollaire I. — Concevons, pour fixer les idées, que la seconde grandeur se réduise à une longueur S mesurée sur une certaine ligne droite ou courbe, et la première grandeur à une masse M concentrée sur cette ligne. Les diverses valeurs du' rapport différentiel p correspondantes aux divers éléments infiniment petits de la longueur S ne seront a^tre chose que les diverses valeurs de la densité dans les divers points que renferme cette longueur. D'ailleurs la position de chaque point P^ sur la ligne que l'on considère, pourra être déterminée à l'aide d'une seule coordonnée x\ et la densité p sera fonction continue de âr, lorsque, étant complètement déterminée pour un point donné P, elle variera, avec la position du point P, par degrés insensibles. Donc le théorème V entraine la proposition suivante :

S désignant la longueur dHune ligne droite ou courbe sur laquelle se trouve concentrée une masse M, si la densité p, étant complètement déterminée en chaque

GRANDEURS COEXISTANTES, RAPPORTS DIFFÉRENTIELS. l83

point V delà longueur Sy varie a\fec la position du point P par degtw insensibles, le rapport de M à S, ou, en d^autres termes, la densité moyenne de la ligne, sera Vun^ des valeurs de p correspondantes aux diuers points ifUe rer\ferme la longueur S.

Corollaire II. — Concevons que la seconde grandeur se réduise à une aire A, mesurée sur une certaine surface plane ou courbe, et la première grandeur à une masse M concentrée sur cette surface. Les diverses valeurs du rap* port dîflérentiel p, correspondantes aux divers éléoienis infiniment petits de Faire A , ne seront autre chose que les diverses valeurs de la densité relatives aux divers points que renferme cette aire. D'ailleurs la position de chaque point P sur la surface que Ton considère pourra être déterminée à Faide de deux coordonnées rectangulaires Xj /, ou de deux coordonnées polaires r, a, ou même à Taide de deux coordonnées quelconques ; et la densité p sera une fonction continue de ces coordonnées , lorsque, étant complètement déterminée pour un point donné P, elle variera avec la position du point P par degrés insensibles. Donc le théorème V entraine la proposition suivante :

A désignant Vaire d'une surface plane ou courbe sur laquelle se trouve concentrée une masseM^si la densité p^ étant complètement déterminée en chaque point P de V(Ure A| "^an'e ayec la position du point P par degrés insensibles, le rapport deMà A, ou, en d^ autres termes^ la densité moyenne de la surface, sera Vune des valeurs de p correspondantes aux di\^ers points que renferme Vaire A.

Corollaire IIL — Concevons que la seconde grandeur se réduise au volume V d'un solide dont la m%a$e soit M. Les diverses valeurs du rapport différentiel p^ corr^spon-

l84 STATIQUE.

dantes aux divers éléments infiniment petits du volume Y, ne seront autre chose que les diverses valeurs de la densité relatives aux divers points que renferme ce volume. D'ailleurs la position de chaque point P, dans ce volume, pourra être déterminée à Taide de trois coordonnées rectangulaires a:, y, z^ovL de trois coordonnées polaires r, 0^ Uy ou généralement à Taide de trois coordonnées quelconques ^ et la densité p sera fonction continue de ces coordonnées, lorsque, étant complètement déterminée en un point quelconque P, elle variera, avec la position du point P, par degrés insensibles. Donc le théorème V entraine la proposition suivante :

V désignant le volume d'un solide dont la masse est M, si la densité p de ce solide ^ étant complètement dé" terminée en chaque point quelconque P du volume Y, varie avec la position du point P par degrés insensibles, le rapport de M àY^ ou, en d^ autres termes, la densité moyenne du solide, sera Vune des valeurs de p correspondantes aux divers points que renferme le volume Y*