La comparaison des éléments correspondants

a et h de deux grandeurs coexistantes

A et B

peut donner lieu à la formation de l'un ou l'autre des deux rapports

suivant que l'on divise le premier élément par le second, ou le second par le premier. Or ces deux rapports, inverses Tun de Tautre, auront pour limites, si les éléments a e\,b viennent à décroître indéfiniment, deux quantités

GailCDEUAS GOEXISTÀKTES, RAPfORTS DIFFÉREIVTIELS. ]85

inverses aussi l'uiie de Fantre, c'est-à-dire deax quantités dont le produit sera l'unité. On peut donc aux propositions précédemment énoncées joindre la suivante :

TnécakiCE VI. — Si deux grandeurs ou quantités coexistent et varient simultanément, le rapport différentiel de la première à la seconde sera Tinverse du rapport différentiel de la seconde à la première.

Observons encore que si Ton désigne par X, {i deux facteurs ou. coefficients constants, et par a, b les éléments de deux grandeurs ou quantités coexistantes A, B, les produits Xa, [ib, représenteront les éléments des grandeurs exprimées par les produits XA, (xB. Cela posé, soit a la

limite du rapport t» ou, ce qui revient au même, le rapport différentiel de A à B. Le rapport différentiel de 1 A à fxB sera évidemment la limite du rapport

fto \L b p

Si Fun des facteurs |ui, X est Tunité, le même produit, réduit à

AdC ou -9

représentera le rapport différentiel de X A à B, ou de A à ftB. On peut donc énoncer encore le théorème suivant :

Théoeèmb Vn. — Soient A, il deux facteurs constants, et a le rapport différentiel de deux grandeurs ou quantités coexistantes

Les rapports différentiels

de > A à B^ de A à fiB, de >A à fxB seront respectivement

a ^ Aa, —5 —a.

l86 STATIQUE.

86. Jusqu'ici nous nous sommes bornas à comparer deux grandeurs entre elles. Si les grandeurs que l'on compare Tune à l'autre sont au nombre de trois, de quatre^ ou même en nombre quelconque, on obtiendra sur les rapports difierentiels de nouvelles propositions que nous allons successivement établir.

Observons d'abord que, si

A, Bf C, désignent trois grandeurs coexistantes, et

a, bf c,

trois éléments correspondants de ces grandeurs, on aura

identiquement

or en supposant que dans Cette équation les éléments a, £, c. deviennent infiniment petits, on obtiendra la proposition suivante :

Théorème VIIL — Si trois grandeurs ou quantités coexistent et varient simultanément, le rapport différentiel de la première à la seconde, multiplié par le rapport différentiel de la seconde à la troisième , donnera pour produit le rapport différentiel de la première à la troisième.

On démontrerait de la même manière le tbéorème que nous allons énoncer.

Théorème IX. — Si plusieurs grandeurs ou quantités coexistent et varient simultanément, le rapport différentiel de la première à la dernière sera le produit des rapports différentiels de la première à la seconde, de la seconde à la troisième, de la troisième à la quatrième,... enfin de l'avant-dernière à la dernière.

GRANDEDHS COEXISTANTES, RAPPORTS DIFFÉEEHTIELS. 187

Le théorème VIII entraîne évidemment le suivant :

Théorème X. — Lorsque trois grandeurs coexistent et varient simultanément, si l'on divise le rapport différentiel de la première k la troisième par le rapport différentiel de la seconde à la troisième , on obtiendra pour quotient le rapport différentiel de la première k la seconde

Nota. En vertu des théorèmes II et III, si le rapport de la première grandeur à la seconde est constant, ce rapport constant sera en même temps leur rapport différentiel', et réciproquement, si le rapport différentiel de la première grandeur à la seconde est constant, ce rapport différentiel constant sera le rapport des grandeurs elles-mêmes. Cela posé, il est clair que le théorème X entraine encore les deux propositions suivantes.

Théorème XI. — Supposons que deux grandeurs ou quantités coexistantes A et B soient entre elles, tandis qu'elles Tarient, dans un rapport constant fx, les rapports différentiels a et 6 de ces deux grandeurs A et B i une troisième grandeur ou quantité coexistante C, seront entre eux dans le même rapport constant^ en d'autres termes, Téquation

(6) A=fiB

entraînera la suivante

Théorêmb XII. — Réciproquement si les rapports différentiels a, 6 de deux grandeurs ou quantités coexistantes A et B successivement comparées à une troisième grandeur ou quantité C sont entre eux dans un rapport constant ju, ce rapport constant sera aussi celui de A a B ; en d'autres termes, l'équation (7) entraînera toujours l'équation (6).

l88 STATIQUE.

Corollaire. — En supposant dans le théorème XII le nombre jui réduit à Funité, on obtient la proposition suivante :

Théorème XIII. — Si les rapports différentiels de deux grandeurs ou quantités A et B, successivement comparées à une troisième grandeur ou quantité C| sont égaux, les grandeurs ou quantités A, B seront égales entre elles.

Considérons maintenant la somme de plusieurs grandeurs ou quantités coexistantes

Ay Ify Kaj • • m •

Nommons S cette somme, et

les éléments correspondants des grandeurs ou quantités

Enfin comparons celles-ci à une nouvelle grandeur ou quantité K, dont Télément soit k\ on aura non-seulement

(8) S = A + B-hC-|-...,

mais aussi

(g) xrra -h A -4- c4-.. . ,

et par suite

Or, si Ton conçoit que, dans cette dernière équation, les éléments

deviennent infiniment petits, on obtiendra, en passant aux limites, la proposition suivante :

Théorème XIV. — Si Ton calcule non-seulement les