Y dy -\ — = o
^6s). ClNQlIli.MK l'AUTIli;. — CHAPITRE XIX.
d'où
Celle équation exprime que les deux moyens mouvements sont égaux, c'esl-à-dire que le mois est égal au jour.
Les deux corps se meuvent alors comme s'ils faisaient partie d'un même ensemble rigide : c'est l'équation de rigidité.
Celle loi reste encore vraie si l'on tient compte des variations de raplatissemenl.
En effet, désignons par
Wo l'énergie potentielle provenant de l'altraction mutuelle des éléments de la Terre ;
W, l'énergie potentielle provenant de l'attraclion de la Terre sur la Lune ;
n le moyen mouvement de révolution de la Lune et J le moment d'inertie correspondant;
w et lies quantités analogues dans le mouvement de rotation de la Terre.
L'expression de l'énergie totale sera
Wo + W, -f- \
L'équation des moments donne
ni -h- mI = h, d'où, en différen liant,
7i OJ -f- J O/l -1- tO Ol -i- f OCO = 0.
Écrivons que l'énergie est maximum
oWo-f- ôVViH h J n on -+- h Iw oco = o.
Or, lorsque la vitesse de rotation varie, l'aplatissement varie de telle sorte qvi'il y ail équilibre entre le IraNail \irtuel — oWq des
forces de gravitation et le travail virtuel + to- — de la force centrifuge; d'où
— oWoH = o.
De même, sur l'orbite circulaire que décrit la Lune, il y a équilibre entre la force centrifuge et l'attraction; donc
La condition des maxima et minima de l'énergie est, par suite,
n{ noi -t- J 5/1 ) -4- w(oj 51 H- I ow) = o,
et, si on la compare à l'équation des moments difFérentiée, on obtient
n = to.
La loi reste donc bien la morne.
274. Négligeons maintenant les vai'iations de l'aplatissement, et
revenons à l'équation
Construisons la courbe représentative de cette équation : elle rappelle grossièrement une Iijperbole équilatère ayant les axes pour asymptotes. Si nous supposons que la quantité /i soit positive,
la droite
inclinée à 45" sur chacun des axes, ne passera pas dans le troisième quadrant. Ou bien donc elle ne coupera pas la courbe, ou bien elle la coupera en deux points seulement situés dans le premier quadrant.
Considérons d'abord le cas où la droite coupe la courbe en deux points A et B.
Chaque abscisse x donne, en vertu de la troisième loi de Kepler, la racine carrée de la distance de la Lune à la Terre, ou, plus généralement, du satellite à la planète. Pour cette distance, l'ordonnée correspondante de la droite donne la vitesse de rotation de la planète.
Pour les positions représentées par les points A et B, il y a jnaximum ou minimum de l'énergie. Or, d'après l'expression de l'énergie, si le pointa;, r parcourt la droite A13 en partant de l'infini, vers la gauche, la valeur de l'énergie est d'abord -f- ce; elle devient — 00 au point C où la droite coupe Taxe Oj, puis on retrouve -{-ce
464 cinquièmh: pautie. — chapitre xix.
pour les grandes valeurs positives de x. H j a donc un maximum de l'énergie pour la position A, et un minimum pour la position B.
Dans le premier quadrant, x e\ y sont positifs, c'est-à-dire que les deux rotations ont lieu dans le sens direct; dans le second quadrant, la rotation de la Terre a lieu dans le sens direct, mais la révocation de la Lune s'eflectue dans le sens rétrograde; c'est le contraire qui se produit dans le quatrième quadrant.
Supposons alors que nous partions d'une position initiale, le point x^ y se trouvant quelque part sur la droite AB.
Par suite du frottement causé par les marées, l'énergie va décroître, le moment total de rotation li restant constant. En ce qui concerne le système Terre-Lune, on doit admettre que le point représentatif est parti de A, à l'origine des temps, le satellite tournant alors rapidement autour de la planète qui lui montrait toujours la même face, puisque le mois était égal au jour; puis, ce point a tendu constamment vers B. C'est le cas le plus intéressant.
Si le point représentatif se trouve entre l'asymptote et la courbe (entre les points A et C), la rotation et la révolution sont de même sens, mais le mois est plus petit que le jour; tel est le cas de l'un des satellites de Mars, le plus voisin delà planète.
Le point représentatif se déplace alors de A vers C, et le satellite tend à tomber sur la planète.
Si le point représentatif se trouvait à droite de B, la révolution et la rotation seraient d'abord de sens contraires; mais le point se rapprocherait de B, la distance du satellite à la planète diminuerait, la rotation s'annulerait, puis deviendrait de même sens que la révolution, et l'on arriverait finalement à l'égalité.
Si la droite ne rencontrait pas la courbe, quelle que soit la position initiale, comme il n'y a plus de minimum, l'énergie décroîtrait constamment jusqu'à la valeur — ce qui correspond à ^ = o : le satellite tendrait donc à tomber sur la planète.
En résumé, le système solaire nous ofïVe deux cas intéressants : celui de la Lune et celui du satellite de Mars.
Les valeurs numériques qui conviennent actuellement au cas de la Lune sont
^ = 3,2, jK = o,8.
Donc
Les valeurs relali\es au maximum et au minimum de l'énergie sont alors données par l'équation
qui a deux racines réelles. On trouve, pour le point B qui correspond au minimum,
et pour le point A correspondant au maximum
Le point A représente l'état initial du sjstème; on avait alors mois = jour = 5'' 36'",
et la valeur de 1 aplatissement était d'environ —
Le système tend vers un état final représenté par le point B et pour lequel on aura
mois = jour = 55^ \.
275. Nous avons dit que l'inclinaison et l'excenlricité demeuraient constantes. Demandons-nous maintenant si la position
est une position d'équilibre stable. Nous nous placerons toujours dans l'bypotlicse d'une viscosité faible, qui correspond à l'acier, et parait être le cas de la nature.
Si l'on désigne par n = x~^ le moyen mouvement de la Lune, par co la vitesse de rotation de la Terre, par i roblic[uité de l'équateur et / Tinclinaison de l'orbite lunaire sur le plan invariable de tellesorte que l'angle de l'équatcur et delorlutc soit f -i-j, ])ar k enfin un coefficient proportionnel à x~''- et contenant en facteur le coefficient v de ^iscosité, on a, en supjjosant qu'on puisse négliger les carrés de l'excentricité et de l'inclinaison, les équations
ilx / Il
dt ■>. X
I de k I /
e dt •}. X \ V. — III. 3o
[Cf. On tlie secalar changes in Uie éléments of tlie orbit of a satellite resolvind about a tidally distorted planet (Darwin, Philosopliical Transactions, Part IT, 1880),]
Fis. 65.
Représentons le moment to de la rotation terrestre, celui x de la révolution lunaire, et leur résultante invariable li perpendiculaire au plan invariable des aires.
On a
to sin i =: .r siny, 10 cos i -^ X cosy = A,
c'est-à-dire, en négligeant les termes du second ordre,
co i = xj-i
De la seconde de ces équations, on déduit
dhi dx ,
~di ~~ 'di ~
et de la première
oj di ^ X dj -+- j dx — i dto ;
d'où, en tenant compte des \aleurs précédentes,
di di
c'est-à-dire
di l: i -r- / / ■). 7?
dt 2 (X) \ to
INFLUENCE DES MARÉKS SUIl LES MOUVEMENTS DES COUPS CÉLESTES. 467
Considérons d'abord l'excenlricité, et supposons que celte excentricité, primitivement nulle, prenne une valeur positive.
, . de
Si -^ >■ 0, e augmentera et il y aura instabilité.
Tout dépend donc du signe de i i '■ — -
Si
1 1 fo > i^ II, instabilité, et si
1 1 fo < i8«, stabilité.
Construisons la courbe
elle coupe en A' et B' la droite x -{- y =z /t.
Vis. 66.
Si l'on iuiagine cpie le point représenlatif.r, r du couple planètesatellite se déplace de A vers B, on \oit cpi'il y aura, en ce (pii concerne l'excentricité,
De A en A' stabilité
A' B' instabilité
B' B stabilité
c'est-à-dire inslabililé si i(S joins sont |)liis courls cpic ii mois. Occupons-nous mainlenani de l'objupiih' lolalr /-!-./• On a
La condition de stabilité est ilonc
10 \ OJ
ce
c'esl-à-dlre, en remplaçant n par x~^ et to par li — .r,
ix'* — 3 /i x^ -I- A^ a?- + 2 > o .
Si nous faisons x = 3, h -=^ 4? ce cjui correspond à peu près à l'état actuel du système Terre-Lune, on obtient pour le premier membre de l'inégalité la valeur — i6 : il y a donc instabilité.
Au contraire, pour j? ^ o et pour ^ = A = 4, on obtient -f- a : donc stabilité.
En résumé, à l'origine, lorsque la Lune s'est séparée de la Terre (point A), les deux vitesses de rotation étaient les mêmes, l'excentricité et l'obliquité étaient nulles et stables. A un certain moment, l'excentricité et l'obliquité ont cessé d'être stables et se sont écartées de zéro.
Puis elles diminueront et tendront vers zéro. A la fin, les deux vitesses de rotation redeviendront les mêmes, tandis que l'excentricité et l'obliquité redeviendront nulles et stables.
Cet état final est celui auquel la Lune est déjà parvenue : elle est arrivée à l'égalité entre les durées de sa révolution et de sa rotation, et l'inclinaison de son orbite est très peu sensible.
Î276. Darwin a cherché quelles hypothèses il conviendrait de faire pour rendre compte de l'accélération séculaire du mouvement de la Lvme.
Une première solution correspond à une viscosité très faible et donne, pour les marées semi-diurnes,
-fj = 28'.
En supposant, au contraire, une viscosité forte, la solution serait donnée par les valeurs
Y] = — — 16' (marées semi-diurnes),
Y] = — — 3?/ (marées diurnes),
Y) = — — 7° 20' (marées séculaires).
Il faudrait 5oo millions d'années pour amener dans l'obliquité une diminution de i".
Le temps minimum nécessaire pourque puisse se produire toute la série des changements du système Terre-Lune correspond au maximum du facteur sin27] : l'action des marées semi-diurnes exigerait un temps minimum de 54 millions d'années.
277. Jl y a lieu de considérer également l'action du Soleil, laquelle deviendrait prédominante dans le voisinage des points A et B. En effet, dans ces deux positions du coii[de Terre-Lune, le mois étant égal au jour, il n'y a plus de marées lunaires; mais les marées solaires subsistent et ralentissent la rotation terrestre. Leur action est particulièrement sensible sur l'obliquité.
L'action des marées solaires sur les planètes a été aussi étudiée par Darwin : il résulte de ses calculs que Mercure et Avenus sont déjà parvenus à l'état final.
Enfin, le frottement des marées produisant de la chaleur, on peut se demander si les marées ne seraient pas la cause de la chaleur interne du globe : on trouve que la chaleur dégagée suffirait à entretenir la chaleur interne pendant 3 milliards 56o millions d'années.
l'IN DU TOME III.
