VA
i tangr,/, = —
4 "■ lAJ^
Remarquons qu'fl suffit de considérer l'action des termes séculaires. A une constante près.
Le coefficient de t sera nin — m'a' et les termes séculaires correspondront à
nin — m n = o.
Si les deux satellites sont différents (Soleil et Lune), n et n'
INFLUENCE DES MARÉKS SUIl LES MOUVEMENTS DES CORPS CÉLESTES. 459
sont incommensurables, et l'on n'aura de termes séculaires que
si
jn = in = o,
ce cjui correspond aux marées Ko et K,.
Si les deux satellites sont identic[ues (Diane et Lune), la condition se réduit à
Or, pour tous les termes, on a, la fonction perturbatrice ne changeant pas lorscjue les axes tournent,
Il faut donc que l'on ait
Nous ne considérerons pas de termes contenant à la fois l'excentricité et l'inclinaison; on aura donc, soit/? =/>', soit q = q' . Par conséquent, dans les termes cjui nous intéressent.
Si nous remplaçons s/f par sa valeur, l'expression de la fonction perturbatrice devient
Q = > — MM' cosr. ', e^'Ç-^P'+'Oi',
c'est-à-dire, les termes étant imaginaires conjugués deux à deux, 0 = ^ A MM' cos-r]/.- cos( o — cp' h- r,/,).
En écrivant les trois équations du mouvement sous la forme
abrégée
dih, H,e) do.
rtT ~ d{ /, CT, 0 ) '
et remarquant que
do
d{ l, TU, 0) on aura donc
— — y-! — =— > AMM' cosr, (/n,/5, 7) ?in(ç — ç -f- Y];.
46o CINQUIÈME PARTIE. — ClIAPITaE XIX.
En faisant maintenant o = cp', on a les trois équations f/fL. H, 0) "V A ,.,,,, s .
dt .i-J '2 V 5 f- ' 2 /
On voit que le bourrelet soulevé par l'action du Soleil sur la Terre n'aura aucune influence sur le grand axe de l'orbite lunaire, puisque alors m = o.
27':2. La seule difficulté provient du facteur
2 tang'/]
sinav]
I — tang^TQ
Considérons, a\ec Darwin, deux cas extrêmes de viscosité. Si la viscosité est faible, sin^Yj est proportionnel à tangyj, c'est-à-dire
a —} vitesse de la marée.
Si, au contraire, la viscosité est forte, sin ari est proportionnel , donc inversement proportionnel à la vitesse de la marée.
tangrj
Il convient de faire la première hypothèse, car une viscosité faible correspond à des propriétés élastiques comparables à celles de l'acier.
Supposons alors qu'il n'y ait à l'origine ni obliquité, ni excentricité, ni inclinaison.
11 est clair, d'abord, que l'inclinaison restera nulle, car il n'existe aucune raison d'écart.
Je dis qu'il en sera de même de l'excentricité. Posons, en effet,
s/l H COS77J = E,
et prenons pour variables L, /, ^, ri. Les équations restent canoniques, et nous aurons
rf| dQ
dt dr\
dt] dÇî
dt d\
On peut développer Q suivant les puissances croissantes de ç et Y), et la partie séculaire ne contiendra que des termes de degré
f . Al 1 . , . , do. dQ, »
pair en c et -/|. Alors, les dérivées-^ et-^r-ne reniermeront que
*■ dr^ d\ 1
des puissances d'ordre impair et notamment aucun terme constant. L'orbite, circulaire à l'origine, le restera donc constamment. Nous ne savons pas toutefois encore si celte forme de l'orbite, sans inclinaison ni excentricité, constitue une position d'équilibre stable.
273. Pour étudier cette cjuestion, nous n'avons qu'à écrire l'équation des moments de rotation.
Soient X 0,1 y Vq, moment de la quantité de mouvement de la Lune et le moment de rotation de la Terre. On peut choisir les
unités de telle sorte que les moyens mouvements de révolution de la Lune et de rotation de la Terre soient x~^ et y. On a alors, en écrivant que le moment total de rotation est constant,
Quant à l'énergie totale du système, comprenant la force vive de rotation de la Terre, celle du mou\euient de la Lune, et l'énergie potentielle, son ex])ression sera
Cherchons les maxima et minima de cette énergie. Ils seront donnés par les deux équations
dx -f- dy =0,
