OSCILLATIONS D'UN SYSTÈME MÉCANIQUE

1. Les marées sont des oscillations périodiques de la surface de la mer de part et d'autre de la figure d'équilibre, dues à de petites forces perturbatrices périodiques dérivées de l'attraction du Soleil et de la Lune.

Leur étude revient donc à celle des petites oscillations d'un système mécanique autour de sa position d'équilibre sous l'influence de forces perturbatrices périodiques.

i2. Application des équations de Lagrange. — Nous considérerons d'abord un système mécanique ayant un nombre fini de degrés de liberté; par exemple, un système constitué par un nombre fini de points matériels. Lorsque nous voudrons ensuite appliquer les résultats au problème des marées, il suffira de remplacer les sommes finies par des intégrales.

Soit donc un système mécanique en équilibre possédant n degrés de liberté, c'est-à-dire dont la situation peut être définie par ii paramètres q^^ q.^^ . . , ^ q„.

Si nous avons, par exemple. A" points matériels entièrement libres, ils constitueront un système ayant 3/i degrés de liberté, et les q seront les coordonnées rectangulaires de ces points. Dans le cas général de k points assujettis à /• équations de liaisons, on

aura n := 3 k — r, el nous conserverons aux n paramètres q le nom de coordonnées du système. De même, nous appellerons

vitesses les dérivées q'^ = ~ de ces paramètres par rapport au

temps.

Représentons par T l'énergie cinétique du système, U son énergie potentielle due aux forces intérieures. Quant aux forces extérieures, nous les définirons par cette condition que, pour un déplacement virtuel du système correspondant aux accroissements virtuels oqi des paramètres ^/, leur travail virtuel soit

Qiogi^ Q, 05r2 + . . .+ Q„ ogn= 2Q,S^/,

expression dans laquelle les quantités Q^ sont des fonctions données du temps.

Dans ces conditions, les équations de Lagrange s'écrivent

d dT dT d[] ^ . . ,

(') TtWrdi^'^Wr'^' (. = !,.,. ..,n).

T, la demi-force vive, est un polynôme du deuxième degré homogène par rapport aux vitesses q' ^ dont les coefficients sont fonctions des q.

U, l'énergie potentielle, ne dépend pas des vitesses q', mais seulement des coordonnées q.