Les équations de Lagrange dans le mouvement relatif

Nous ne pourrions utiliser directement les équations (i) que si le système exécutait des oscillations de part et d'autre d'une position d'équilibre absolue. Mais les mers ne sont pas dans cet état^ puisqu'elles sont entraînées par le mouvement de rotation de la Terre : il en résulte une force centrifuge composée (force de Coriolis) qui complique le phénomène.

Ceci nous conduit à distinguer parmi tous les paramètres q un paramètre particulier qç, définissant l'orientation du système.

Le globe terrestre tout entier comprend une partie solide et une partie liquide. Supposons trois axes mobiles invariablement liés à la partie solide et considérons également trois axes fixes, les axes des z coïncidant dans les deux systèmes.

Alors, qo représentera l'angle des axes mobiles avec les axes

OSCILLATIONS d'uN SYSTEME MÉCANIQUIÎ. 5

fixes ; et les autres coordonnées cji définissent la position relative du système par rapport aux axes mobiles.

On peut supposer que les qi soient choisis de telle sorte que, dans la position d'équilibre, on ait ^/= o.

Comme les oscillations sont petites, les qi seront alors toujours petits ; tandis que ^/o? ^^^ contraire, est un angle fini croissant au delà de toute limite.

La dérivée q\^ n'est pas autre chose que la vitesse angulaire de rotation de la Terre.

Bien que T et U soient, en général, fonctions des ^,, elles ne dépendent cependant pas de ^o- En efl'et, ^o définit l'orientation actuelle du système dans l'espace absolu, et l'énergie cinétique, ainsi que l'énergie potentielle, sont évidemment indépendantes de celte orientation.

Ainsi

Nous supposerons de plus cju'il n'y a pas de couple extérieur tendant à faire varier la vitesse de rotation de la Terre; par suite,

Qo-o.

Alors, l'équation de Lagrange relative au paramètre q^ se

réduit à

dt dq'^ donc

dT

/>o étant une constante. Nous avons ainsi une intégrale du problème, et ce n'est pas autre chose que l'intégrale des aires. En effet, d'après l'hypothèse admise, le moment des forces extérieures par rapport à l'axe de rotation est nul et, par suite, le moment des quantités de mouvement est une constante.

Nous donnerons bientôt l'exjîression de la constante /:)o ; remarquons pour l'instant que l'équation (2) nous fournil une relation linéaire entre q^^ q\ et/'o, relation dans les coefficients de laquelle figurent également les qt.

En effet, T étant un polynôme du deuxième degré par rapport

PREMIERK l'ARTIi:. — CHAPITRE I.

aux cj\, -r—f sera du premier degré par rapport aux vitesses, i^a acjQ

relation (2) nous permettra donc d'exprimer ^|,, en fonction

des qi^ q'i et de la constante y-?o-

Soit maintenant

H = T-U — /Jo?;.

Dans le second membre de cette expression, nous considérerons T et U comme des fonctions de q\^^ q\ et qi\ dans le premier, au contraire, nous supposerons qu'on a remplacé ^^ par sa valeur tirée de (2): H sera alors exprimé en fonction de /?0 5 q'i et qi. Si donc nous différenlions par rapport à ^;, nous aurons, en observant, d'une part, que T dépend de q'i de deux manières, d'abord directement et ensuite indirectement, parce qu'il dépend aussi de q'^ ; d'autre part, que U ne dépend ni de ^^ ni de q'i :

rm __ cil dT dq\, dq\,

dq'i~ dq'i ; dq'^ dq'i ^"^ dq'i^

ce qui se réduit, en tenant compte de (2), à

cm dr^

dq'i ~ dq'i

De même^ en différentiant par rapport à qt et observant que T

dépend de qt directement, puis indirectement comme fonction

de 9-;,

d\\ dT d[] dT dq\^ dq[,

dq, dqi dq, ' dq'^ dqi ^° dqi

OU, d'après (2),

d\\ dT dVi dqi "" dqi dqi

Il en résulte qu'avec les nouvelles variables, les équations de Lagrange deviennent

n étant le nombre des paramètres à variation lente qui définissent la position du système par rapport aux axes mobiles.

On voit que les équations de Lagrange conservent la même