Détermination des oscillations propres. — Dans les

coefficients rt, b, c^ f\ figure A; par exemple,

Dans l'application de la méthode, il importe de ne pas confondre ce paramètre \ qui caractérise la période de l'oscillation avec le paramètre de l'équation de Fredholm que nous avions appelé X aux n'^'5 14'2 et suivants et que nous appellerons désormais )/, de sorte que notre équation sera mise sous la forme

^{x) = vj<:^{i)f{x,l)d^, + '^{x

Si l'on recherche les oscillations contraintes, ). est une donnée de la question, il suffit de le remplacer dans les formules par sa valeur numérique.

Mais, s'il s'agit de déterminer les oscillations propres, \ est une inconnue, et nous avons alors à déterminer deux paramètres : À' et A.

La méthode de Fredholm fournit une solution qui se présente sous la forme du quotient de deux séries

PROCKDKS d'iNTÉGIUTION DES ÉQUATIONS DU PROBLÈME DES MARÉES. 278

Dans le cas des oscillations propres,

lj/(^) = o.

Il faut donc que l'on ait

Le dénominateur D est une fonction entière de )/ dont les coefficients dépendent de À; nous pouvons l'écrire

Si nous supposons que a, b^ c, / soient des polynômes entiers en À, ainsi qu'il arrive dans les problèmes de marées, D (a', À) sera également une fonction entière de X.

En effet, le coefficient S,, de )/" satisfait à l'inégalité

M étant la plus grande valeur possible du noyau, lequel est un polynôme en 1. Par suite

S/, est donc bien une fonction entière de À.

Lorsque, dans D ()/, À), nous ferons A' ^ i , il nous restera alors une fonction entière de a et, en l'égalant à zéro, nous obtiendrons l'équation qui nous fournira les périodes des oscillations propres.

16i. Cas où les coefficients deviennent infinis. — L'analyse précédente suppose essentiellement que les fonctions «, />, c, f restent finies.

Or, elles peuvent devenir infinies pour deux raisons :

i" Si, contrairement à l'iiypothèse faite jusqu'ici, la mer n'est pas limitée par des parois verticales. En ell'et, l'équation du j)roblème est d'une forme telle que

P. - iir. i8

d'où

7 A 'S^ dh d(ti . Ti ^?

hà.(p +>-7----^=Acp+B-j!--H-..., ' .^ dx dx dx

2 do dh A B do

dx h dx h ' h dx

Si donc la mer est limitée par des parois inclinées, nous aurons sur les bords A = o et les coefficients de o, -t^> ... deviendront

infinis ;

2° Rappelons que dans les équations relatives à la sphère tournante (§ 77) s'introduit le terme

jLu dx \ dx A, ajant la valeur