X2-H 4 0)2 COS^O
\- étant essentiellement négatif, le dénominateur de A, pourra
s'annuler si
|XM<4oJ^
Alors h s, deviendra infini et il en sera de même du coefficient
dhx dloghi
hi dx dx
Ainsi donc, même lorsqu'on néglige U", la résolution du problème dans le cas général se heurte à deux difficultés : l'une provenant de ce que la profondeur peut être nulle sur les bords ; l'autre de ce qu'il existe certaines latitudes criticjues, lorsque )v et 0) satisfont à la condition
C'est cette seconde difficulté que nous allons examiner tout d'abord.
16o. Bassin à parois verticales et traversé par un parallèle critique. — Les coefficients deviennent alors infinis tout le long des parallèles de latitude donnés par
X^-i- 4 (02 cos^ô = o.
PROCKDÉS D INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DU PROBLÈME DES MARÉES. i^S
Mais il est possible de diriger le calcul, comme nous lavons indiqué au paragraphe 78, de manière à éviter l'introduction de termes infinis.
Piappelons les équations fondamentales auxquelles nous avions été conduits. En désignant par h la profondeur au point dont les coordonnées sur la carte conforme sont .r ety^ le rapport de similitude étant A', l'équation de continuité s'écrit
En négligeant II" et posant alors
la condition à la surface libre nous donne
Quant aux composantes u et v du déplacement sui\ant les axes de la carte, elles seront fournies par les équations
avec
Prenons l'équation (i) qui donne ^ et ditférentions-la par rapport à .X ; nous aurons, en mettant en évidence les termes contenant les dérivées secondes de u et c,
do
dx
do
dy
cosO
dx \ dx- dx dy
A représentant l'ensemble des termes contenant les dérivées premières ou les fonctions a et v elles-mêmes. D'autre part, l'équation (2) donne également
dl Â-2 , ,/\v
dx g g dx
276 PRKMlÈRli: PARTIE. — CHAPITRi; X.
d'où
(i) "^^ -l^hl"^''' 1 "^''^ \ 1 \-^"r« ^r^
^^^ dx-'^ \dx-^ ' dxdyj^^- g^'' ^-'^^
g- dx
et de même
dl , , f d:UL d''v\ ^ 1^ ,
g dy
dW dW . f .
—, — et — r- sont des lonctions connues. dx dy
On a, d'ailleurs, explicitement
du f , dh dk''- \ d ( j.^ dh \
dx \ dx dx I dx \ dx j
dv dk- Il , dh dv d / , dh \
dy dy dy dx dx \ dy }
avec une expression analogue pour B.
Nous obtenons ainsi deux équations entre u et f, dont les coefficients ne deviennent pas infinis à la latitude critique.
Les termes infinis s'étaient introduits précédemment quand on résolvait par rapport à a et <', parce que le déterminant des équations s'annulait pour cette latitude.
Les équations (4) et (5) auxquelles nous sommes parvenus peuvent s'écrire
J \ dx-^ ^ dxdyj
\ \ dx dy ' dy' j '
X et Y étant des fonctions linéaires de a^ v et de leurs dérivées premières, dont les coefficients sont connus et ne deviennent pas infinis.
D'autre part, si nous dérivons la première des équations (3) par rapport à jk et la seconde par rapport à x^ nous obtenons, en égalant les résultats,
du dv I du dv \
dy dx " \ dx ' dy J
DilFérentions maintenant cette équation successivement par rapport k x ei k y el multiplions par k'-h ; nous aurons, en tenant
PROCÉDÉS d'intégration DES ÉQUATIONS DU PROULEMK DES MARÉES. 277
compte de (6),
.^ , IV i., ^^ ^ , diî .., j / du dv
' ' ' " — —^ ^^ "■ \(ix dy
d-'u dx dy
d^v dx'^
,, , / d'^u d'^v \ ^.. dQ ., , /du dv \
\ dy- dx dy dy \ dx dy j
Si, alors, nous ajoutons la première des équations (6) à la seconde des équations (8) et si nous retranchons les deux autres, nous obtiendrons finalement
( A-2/iA« = F, ( /c^AAp =Fi
en posant
dQ /du dv\ "^ ' ^ dy\dx~^ dy)
dQ / du dv \ dx \dx dy J
Il s'agit d'intégrer les équations (g).
On voit qu'elles sont tout à fait analogues à celle que nous avons précédemment traitée, mais nous avons à déterminer deux fonctions a et ç au lieu d'une seule fonction o.
A", le rapport de similitude de la carte à la sphère, et h, la profondeur, sont des fonctions connues de x et y.
F et F, sont des fonctions linéaires de u, v et de leurs dérivées premières, dont les coefficients sont des fonctions connues de jc el y ne devenant pas infinies.
Par exemple,
du
F = a — h- . . .^ ou -\- cv -\- /.
dx
Si nous supposons alors que la mer soit limitée par une falaise verticale, /t ne s'annulera pas; /•■ ne s'annulant pas non plus, nous pourrons di\iser par A^A, et nous aurons à intégrer les équations
Af = *i,
les fonctions <I> et <I>, étant de même forme que F et F,.
Puisque nous avons deux fonctions inconnues, nous serons obligés de nous donner deux conditions aux limites.
278 PRKMIÈUE PARTllî. — CIIAPITRI': X.
La première exprimera que la composante normale du déplacement est nulle sur le contour, soit
(11) a« + [jP = o,
a et [i étant les cosinus directeurs de la normale à l'élément ds.
Comme seconde condition, nous prendrons l'équation ('j) qui, devant être satisfaite dans l'aire entière, le sera également sur le contour. En posant pour abréger
du dv / du dv
' dy dx " \ dx dy
cette seconde condition aux limites s'écrit
D(^^, v) est une combinaison linéaire des dérivées premières de u et <^, et le coefficient Q ne devient pas infini non plus.
Remarquons encore qu'il j aura deux latitudes critic[ues symétriques données par
Si donc il s'agissait de marées semi-diurnes, les latitudes critiques seraient dans les mers polaires et il n'y aurait pas lieu de s'en occuper. La question se pose surtout pour les marées diurnes dont les latitudes critiques sont, dans chaque hémisphère, voisines du Ôo'^ parallèle.
166. iNous suivrons, pour intégrer les équations (10) avec les conditions aux limites (11) et (12), une marche analogue à celle que nous avons précédemment employée.
En premier lieu, nous chercherons à résoudre le problème préliminaire suivant :
Construire deux fonctions a et t', sachant qu'à l'intérieur de
l'aire on a
Lu = Ap = o
et en se donnant sur le contour
«M -h pp- = N, D(?t, t') = M.
J^e problème ainsi posé ne comporte pas toujours de solution.
PROCEDES d'intégration DES ÉQUATIONS DU PROBLÈME DES MARÉES. 279
Pour qu'il existe une solution, il faut que M et N soient assujettis à un certain nombre de conditions, comme nous le verrons tout à l'heure.
Soit, par exemple, n le nombre de ces conditions.
Nous ne pouvons plus alors résoudre le problème, quels que soient M et N. Mais nous introduirons n fonctions
et n fonctions correspondantes
Toutes ces fonctions sont choisies arbitrairement une fois pour toutes.
Alors, au lieu des conditions posées plus haut, nous prendrons
Les fonctions cp et <h sont données et les ki sont des constantes inconnues que l'on pourra déterminer de manière à satisfaire aux n conditions entre M et N et en déduire ensuite u et v.
Nous pourrons toujours supposer qu'il est impossible d'avoir une solution telle que]
En effet, soit ?</, c, cette solution ; si elle existe, la solution
Il — kl Ui, '^} V — kiVi
conviendra également, et l'on pourrait alors faire disparaître les termes contenant 'l; et ce,-.
Plus généralement, on ne peut pas avoir
rj.u+ pç;= Va-.,!;., • D(«, ^■j=2/w?/,
28o PREMIKRK i'ARTlK. — CHAPITRE X.
sauf quand tous les coefficients / sont nuls à la fois et que l'on a
aji -i- [3p =^ o,
167. Supposons que nous sachions résoudre ce premier problème.
Nous chercherons alors à déterminer deux couples de fonctions de Green particulières définies de la manière suivante.
Le premier couple sera formé de deux fonctions G, G', telles que
soient des fonctions harmoniques à l'intérieur du contour, et que l'on ait sur le contour
aG + [iG'= Va-,-];,-, D(G, G') = V/,..^..
Ces conditions ne sont pas incompatibles avec celles qui assujettissaient u et V tout à l'heure, parce cju'ici les fonctions G et G' ne sont pas harmoniques toutes deux.
On saura résoudre ce problème si l'on sait résoudre le précédent.
De même, nous déterminerons un second couple G|, G', par les conditions que
g; — loff
iVt V
soient des fonctions harmoniques à l'intérieur du contour, et que l'on ail sur le contour
d(Gi,g;)=2^''?'-
168. Ceci posé, nous pouvons aborder le problème lui-même, c'est-à-dire la détermination des fonctions a et c qui satisfont aux équations (10), (1 1) et (12).
PROCKDKS d'intégration DES ÉQUATIONS DU PROBLEME DES MARÉES. 28 1
jNous pouvons toujours définir deux fonctions U et V par les conditions
— 1T.U ^= I <i>'G d^' -r- / <î>'j Gi f/7' -f- u,
— 2 TTC = / <P' G' da' -r- I 'ï>'| G'i t/a'H- V.
Cela suppose, à vrai dire, lexistence de la solution, mais elle n'est pas douteuse dans ce cas.
Les fonctions G, G'; G,, G',, préalablement déterminées, sont des fonctions des coordonnées .r, y ; S, 7^.
$ = 7— -r est une fonction de x, y: w, P' et leurs dérivées.
^'désigne la même fonction de ç, 'f[ ; «', (^'et leurs dérivées ; «'et v' représentant ce que deviennent les fonctions u et c quand on y remplace les variables x,y par ç, Tj.
De même pour <î>, et <!>',.
Or, je dis d'abord que U et V satisfont à l'équation de Laplace, à l'intérieur du contour.
En effet, formons A« et Ac. Si nous remplaçons G par
MF V " ■^It'
nous aurons, puisqu'on peut différentier sous le signe / lorsqu'il s'agit d'une fonction harmonique,
- iT.Mt = \J^' log -^ d^'-^J^' A f G - log -^) d^'-l'<i>\ AG, 6?y+ AU.
La première intégrale du second memljre représente, au point ^,y où la densité est <I>, le potentiel logarithmique d'une aire attirante de densité O'au point q, r, : son laplacien est, par suite, égal à — ■ 2 7LfI>. Quant aux deux autres intégrales, elles sont nulles,
puisque G — log -rr-p et G, sont des fonctions harmoniques. On a donc
— i-lu =— a-*-!- AU.
Mais, d'après (10),
Au = *.
Par suite
