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Nous traiterons les équations de conditions par la méthode des moindres carrés, et nous en déduirons ainsi 5 équations de la forme
vji V g,(a-a„);) 363 Ho = :^A e-'^oi.
On résoudra ces équations en supposant d'abord que le premier terme est négligeable, comme dans le cas des ondes à courtes périodes, mais ici la première approximation ne suffira pas en général.
Ces calculs sont longs, et Darwin a dressé des Tables pour en faciliter l'application.
Pratiquement, on ne fait pas pour chaque moyenne journabèi'e les corrections relatnes aux trois ondes de courtes périodes; mais on applique une correction ('quivalcnle aux équations d où résulte la détermination des coetlicienls.
020 DliUXIlîME PARTIE. — CHAPITRE XI.
On se reportera, pour le détail des calculs, aux Ouvrages déjà cités.
190. Méthode de Darw^in pour la séparation des ondes solaires. — Dans un travail communiqué à la Société royale de Londres {Proceedings of the Royal Society, Vol. LU, novembre 1892), Darwin indique une méthode grâce à laquelle la séparation des ondes du groupe solaire peut être aisément efl'ectuée.
Reprenons l'équation générale
Abstraction faite du mouvement très lent du périgée, a est une combinaison linéaire à coefficients entiers des trois quantités (o, 11 et iii représentant respectivement la vitesse angulaire de la Terre, le moyen mouvement de la Lune et le moyen mouvement du Soleil.
mo, ln^ et mo désignant des entiers, on aura
D'où
y étant l'angle horaire du soleil moyen;
o la différence des longitudes moyennes de la Lune et du Soleil;
<L la longitude moyenne du Soleil.
On peut donc écrire
Considérons les 29 jours d'une lunaison, réunissons en Tableau les cotes correspondant à une même heure et faisons les moyennes : nous obtiendrons ainsi 24 moyennes.
Pour toutes les cotes entrant dans la compositioir d'une même moyenne, 7 a la même valeur, 6 varie lentement et peut être considéré comme constant, mais cp varie de 0° à 36o°. 11 en résulte que chaque onde donnera dans la sommation un terme
le facteur e'»"'o7.+"'2T" étant sensiblement constant
ANALYSE HAR.MOMQLt:. 321
Si m, ^ o, on aura
Par conséquent, toutes les ondes pour lesquelles m\ n'est pas nul vont disparaître; il ne restera que les marées purement solaires, celles dont la vitesse ne dépend que de w et de /i,, à savoir S«, S^a, S^, S, , K^, K, , ....
Les expressions de ces ondes sont fonctions des deux variables -y et 'i. Si nous appliquons l'analjse harmonique aux mojennes d'une même lunaison, nous obtiendrons les coefficients des différents termes e""»'^, mais ces coefficients seront encore fonctions de '\.
JNous considérerons ensuite les lunaisons successives d'une année entière. L'année sera divisée en 12 parties égales, en passant un jour de temps en temps, de manière que chaque groupe comprenne bien 29 jours. L'analyse harmonique appliquée à chacun de ces groupes fournira 12 valeurs des divers coefficients He""^'^ correspondant à des valeurs équidistantes de la variable 'l : on en déduira donc facilement les constantes H.
Cette méthode a été peu appliquée.
191. Détermination des constantes harmoniques d'un port à l'aide d'une courte période d'observations. — Il arrive souvent que les observations dont on dispose ne s'étendent pas sur une période aussi longue qu'une année. Darwin a, néanmoins, montré [AdniirciLly Scieniijic Manual, 1886) qu'on pouvait obtenir des valeurs suffisantes pour la pratique, même avec une période d'observations ne dépassant pas une quinzaine. Naturellement, on ne saurait ainsi déterminer toutes les ondes et, en particulier, aucune des ondes à longue période.
Si nous admettons i5 jours d'observations, on voit aisément, d'après les règles données au paragraphe 182 pour le choix de la période la plus favorable, qu'on pourra déterminer
;n analysant -iS périodes (T = i4\5)
» 00 » (T = lô-i)
» 3() » (T = I jj j
et, éliminer
322 DEUXIÈMR; partie. CHAPITRE XI.
La durée des observations est insuffisante pour séparer K2 de So et K| de P, ni ces deux ondes ensemble de la série S. La séparation de ces ondes se fera en admettant que le rapport de leurs amplitudes est égal à celui des coefficients astronomiques. 11 restera seulement à faire porter l'analyse harmonique sur trois groupes distincts.
192. Analyseur harmonique. — Lord Kelvin a imaginé un procédé mécanique, qui donne sans calculs la valeur des intégrales
, cos ,
Il . a.^tat.
sin
L'appareil employé se compose essentiellement de trois parties :
1" Un disque circulaire pouvant tourner autour de son axe incliné ^O ;
2° Une sphère C en contact en A avec le disque ;
3° Un cylindre de diamètre légèrement inférieur à celui de la sphère, pouvant tourner autour d'un axe parallèle au plan du disque et situé à la même distance de celui-ci que le centre de la sphère ; la sphère et le cylindre sont en contact en B {fig. 4o)-
Prenons comme direction de l'axe des z l'axe O; du disque et comme direction des y l'axe du cylindre ; la direction des x sera parallèle à CB. La flèche indique la direction de la pesanteur.
Par suite de son poids, la sphère presse contre le disque et le cylindre, et son centre ne peut se mouvoir que parallèlement à l'axe des jk; le rayon de la sphère est d'ailleurs tel que, dans ce mouvement de translation, le point de contact de la sphère et du disque décrit un diamètre de ce disque.
Il ne reste donc à la sphère que quatre mouvements possibles : la translation parallèle à Oy et les trois rotations autour des parallèles aux trois axes. De tous ces mouvements, un seul est susceptible de transmettre le mouvement du disque au cylindre, c'est la rotation autour de l'axe parallèle à Oy, qui donne pour les points A et B de la sphère des vitesses égales.
Comme la sphère ne peut glisser, la vitesse du point A de la sphère doit être égale à la vitesse du point A du disque, et la vitesse du point B de la sphère égale à la vitesse du point B du
ANALYSE HARMONIQUE
cylindre. On doit donc avoir la relation
dt dt
Fig. 4o.
en désignant par y la distance du |)oint de contact A au centre du disque, par /• le rayon du cylindre, et par t/to, c/cp les relations élémentaires correspondantes du disque et du cylindre.
Supposons maintenant qu'on fasse dérouler d'un mouvement uniforme la feuille sur laquelle est inscrite la couriiedu marégraphe. Tandis que tourne le tambour avec la vitesse ag, une came commande le mouvement du disque de l'analyseur, et cette came est réglée de telle sorte qu'on ait
dli> cos dt sin
En même temps, une fourchette reliée à un stjiet dont la pointe décrit la courbe de marée guide la sphère de manière que la distance y de son centre au centre du disque soit égale à la hauteur k de la marée.
Il en résulte que l'angle o, dont aura tourné le cylindre au bout d'un certain temps, sera proportionnel à
, cos ,
Il . %at dt.
sin
Cet appareil a sur les autres intégrateurs, comme le planimètre d'Amsler, l'avantage d'un roulement sans glissement.
Toutefois, il n'est pas entré dans la pratique et n'a pas été jusqu'ici utilisé pour l'analyse harmonique.
Des types un peu différents ont été récemment essayés.
193. Prédiction de la marée pour une époque donnée. Tidepredicter. — Une fois qu'on a déterminé par l'analyse harmonique les constantes A. et |î; de toutes les ondes pour un port donné, il est facile de calculer la hauteur
A = ::A cos(ai H- ,S)
de la marée en ce port, à une époque t quelconque.
^ étant la différence de phase entre la marée et le terme correspondant du potentiel, il nous suffira de connaître la valeur de l'argument du potentiel pour l'origine du temps.
Les coefficients harmoniques n'étant pas absolument constants et variant légèrement avec I, on leur donnera naturellement la valeur qui convient à l'époque t.
Ce procédé conduit à des calculs fort longs. Mais Lord Kelvin a
ANALYSE HARMONIQUE. 325
imaginé un ingénieux appareil qui permet de tracer en très peu de temps la courbe de marée d'un port pour une année entière.
La machine de Lord Kelvin se compose essentiellement d'une série de poulies folles disposées de manière à assurer le parallélisme des brins d'un fil qui passe alternativement par-dessus ou par-dessous chacune d'elles; ce fil est fixé par une de ses extrémités, et l'autre extrémité, tendue par un poids, porte un crayon qui laisse sa trace sur une feuille de papier enroulée sur un tambour vertical {fig. 4i)-
Imaginons que les centres de toutes ces poulies puissent se déplacer verticalement suivant un mouvement harmonique correspondant respectivement à chacune des ondes de la marée ; le déplacement vertical du crayon au-dessus du zéro, qui correspond à la position moyenne de tous les centres, sera
aSA cos(a/ -+-3).
Le crayon tracera donc la courbe de la marée {fig- 42) si l'on règle le mouvement vertical de chaque centre conformément à l'onde correspondante. Pour cela, le centre P de chaque poulie est guidé par une tige verticale portant une glissière horizontale dans laquelle peut se déplacer le bouton B d'une manivelle ()B dont le mouvement est commandé par un axe horizontal O. Tous les axes tels que O sont actionnés par des trains d'engrenages calculés de telie sorte que leurs mouvements soient uniformes et
