CHAPITRE Xll
194. Antérieurement à l'analyse harmonique, on employait pour prédire les marées une méthode plus expéditive due à Laplace et qui s'applique particulièrement bien au phénomène tel qu'il se produit sur nos côtes.
Reprenons l'expression du potentiel des forces extérieures en un point donné
P - Po = y G e>'' = y G e'a^
Il s'agit de calculer la hauteur h de la marée, dont l'expression en composantes isochrones est
Nous savons (§ 29) que les termes de P — Pq se partagent en trois groupes :
i" Les termes semi-diurnes pour lesquels on a a = 20J 4- jji avec G = />: sin-6e2i\î/^
[/. étant positif ou négatif et petit par rapport à oj.
Nous avons également les termes imaginaires conjugués, pour
lesquels
a= — -ico — \x avec G = >t sin-Oe-"']^;
2" Les termes diurnes
a = oj + [i., G = /i siniGe''^',
a — — w — |JL, G = /: sin 1 0 e^'-^ ;
3" Les termes à longue période
a = ± [X, G = /f(3cos"-'9 — i).
328 DEUXIÈME PARXrK. — CHAPITRE XII.
Considérons successivement chacun de ces groupes.
Dans le groupe semi-diurne, prenons d'abord les termes en
a = 2 oj -H [Ji.
Alors
P — Po= sin29e2/J/V/^g;(-2w+[j.)«^
Quel est le rapport de H à A?
H est une fonction des coordonnées du port : c'est une constante pour un port donné. Le coefficient k est également pour chaque onde une constante, mais varie avec la vitesse a : il en sera
donc de même du rapport -.-• D'ailleurs, en vertu du principe de
la superposition des petits mouvements, si l'on multipliait tous les coefficients k par un même facteur, les coefficients H correspondants se trouveraient multipliés aussi par ce facteur, et le
rapport -j ne varierait pas.
Nous pouvons donc écrire simplement
Ceci est rigoureux. Voici où commence l'approximation. Mettons en évidence l'amplitude et la phase de l'onde, et posons
Laplace suppose que, pour tous les termes semi-diurnes, « et [^ sont des fonctions linéaires de a, donc de u. ; ce qui permet d'écrire
«0? ^1, §01 t^i étant des constantes du port, indépendantes de a. Alors
Posons
MÉTHODE DE PItÉDICTIOX DK LAPLACE. Sag
L'expression du jDOtentiel des lermes considérés deviendra
et, en se reportant au développement du paragraphe 29, on voit immédiatement qu'on a
m étant la masse de l'astre, o sa distance polaire, o sa distance à la Terre et ^R son ascension droite.
Nous aurons
d'où
Si nous représentons par 0, F^ et p les valeurs des coordonnées de l'astre prises, non pas pour l'époque ^, mais pour l'époque ^H- [^,, nous pourrons écrire cette expression
à condition toutefois de ne pas différentier e-"^' lorsqu'on prend la dérivée partielle du second membre.
On peut se dispenser de formuler cette restriction en écrivant
-TT- au lieu de — • dpi ôt
Pour avoir l'expression complète de la hauteur due à l'ensemble des termes semi-diurnes du potentiel, il nous faut tenir compte des termes imaginaires conjugués de ce.ux que nous \enons de considérer. La hauteur totale sera donc représentée par le double de la partie réelle de l'expression précédente; c'est-à-dire qu'on aura pour la marée semi-diurne lunaire
, «isin^ô , ,, ,,
h ■= 1 rty — cos {-iMt -H Pu — i- - 1» )
() r /« sin-o . , ,, ,, "I
■}. a 1 — r- SI n ( 2 oj ^ 4- il) — 2 .H ) .
33o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XII.
On. aui^ait une expression analogue pour la marée serni-diurne solaire, les constantes rt^, «i, [iio, [S| restant les inêmes.
195. La synthèse des termes diurnes se fera de la même manière. La seule différence est qu'on aura
11 en résulte pour l'expression de la marée diurne lunaire
, ,msin2Ô n, n. / f^ HmsinaS . , ^, "]
A = 2^0 — -cos(wZ-i- 3o — .î\)-f- 2«'i -j7 sin(a)Z4- p^ — i\) ,
P ' *^Pi L P J
aj,, a',, ,3[), jS', étant quatre nouvelles constantes du port, qui restent les mêmes pour les ondes diurnes solaires.
Les coordonnées 3, M et p de l'astre doivent être prises, non pour l'époque ^, mais pour l'époque t -\- ^^\.
Enfin, pour les termes à longue période, on s'en tient à la marée statique de première sorte.
196. En résumé, la formule complète de Laplace renferme pour un port donné huit constantes
<^0i Po? ^1) pi,
Laplace a cherché quelles étaient les valeurs de ces constantes pour le port de Brest. 11 y est parvenu en faisant
a^ est relativement très petit. La valeur du rapport — est d'en-
viron -— •
Laplace a supposé que les constantes [j'^, ^\ de la marée diurne étaient respectivement égales à [jq et |3|.
Dans la formule, entrent les rapports —, — • En désignant par
P P r, /•' les distances moyennes de la Lune et du Soleil à la Terre,
Laplace a admis qu'on avait
Dans ces conditions, la formule de Laplace représente très exactement les observations.
Seulement, la valeur exacte du rapport — : -j^ n'est pas 3, mais 2, l 'y.
Aussi la formule de Laplace, qui convient admirablement au port de Brest, ne s'appliquerait-elle pas exactement à un autre port. Il serait nécessaire d'introduire une constante de plus, et de supposer que la valeur de «^ n'est pas la même pour le Soleil que pour la Lune.
197. De la formule de Laplace, découlent quelques conséquences immédiates.
Si nous considérons d'abord la marée semi-diurne, qui est prépondérante sur les côtes européennes, nous voyons que la marée solaire et la marée lunaire s'ajouteront à l'époque des syzjgies et se retrancheront à l'époque des quadratures. Comme la fonction /{t) est maximum lorsque la déclinaison est nulle, les marées les plus fortes correspondront aux sjzygies équinoxiales.
En ce qui concerne la marée diurne, elle s'annule avec la déclinaison de l'astre et change de signe avec cette déclinaison, c'està-dire toutes les fois que l'astre passe d'un hémisphère à l'autre.
Si nous nous reportons aux expressions des ondes de l'analyse harmonique, ceci nous explique pourquoi les coefficients astronomiques des ondes diurnes contiennent tous en facteur le sinus de l'inclinaison de l'orbite sur l'équateur. Si l'orbite se confondait avec l'équateur, la marée diurne serait identiquement nulle.
Parmi toutes les ondes diurnes, les plus importantes sont
Kl
Gomme ces deux ondes ont, à très peu près, le même coefficient, leur ensemble pourra se représenter par l'expression
cos(a) — 2n)t -+- costo^ = 2Cos(w — n)t cosnt.
Tout se passe donc comme s'il y avait une composante unique ayant pour période un jour lunaire, et dont l'amplitude serait variable et égale à icosnt. Il y a interférence et changement de signe lorsque la Lune traverse l'équateur.
