U2 VU
1 ,, / tl \ ^-2 4- V2 4- ^2 -H Y]2
= ïûi^^ + (ir3-'^-V — ^^ '
de sorte que si l'on pose
m étant la masse de Jupiter et Aq, A,, ... étant des fonctions de U indépendantes de cette masse, on aura
( Bo= Ko=Lo=:Mo=0.
208. Méthode de Delaunay. — Comme première approximation, nous allons supposer
Dans ces conditions, F ne dépend plus que de a?, de y, et de U. On peut alors pousser l'intégration jusqu'au bout par la méthode de Delaunay. Nous n'avons d'ailleurs aucune raison de négliger les termes de degré supérieur en x et enjK-
On trouve immédiatement deux intégrales U = const., F = const.,
car F ne dépend ni de A, ni de t.
Considérons donc x et y comme les coordonnées d'un point
dans un plan, U comme une constante donnée et construisons les
courbes
en faisant varier la constante G.
Si l'on supposait m = o, il viendrait
F = — -I- U -^ (.^'- + yn
et nos courbes se réduiraient à des cercles concentriques ayant pour centre l'origine.
On doit faire une attention toute spéciale aux points pour
lesquels on a
dx dy '
et, par conséquent,
X = const., y = const.
Ces points correspondent aux solutions périodiques.
Dans le cas de m = o, ces points sont les suivants : l'origine
x^y^o qui correspond à une orbite circulaire, et tous les
points du cercle
dS ( u — nS )"'
au cas est rigoureusement égal à
qui correspondent au cas où le rapport des moyens mouvements
n L'équation -^^ ^ o peut, suivant la valeur de U, ne pas avoir
de racine positive, ou en avoir une; nous nous supposerons placés dans ce dernier cas.
Nous remarquerons alors trois points, à savoir l'oi^gine O et les deux points d'intersection A et B de l'axe des x avec le cercle
Passons au cas où m n'est pas nul, mais très petit. Les deux
équations
dF dy
peuvent être remplacées par les suivantes :
dx
auxqiielles correspondront divers points sur l'axe des x. Gomme m est très petit, ces points seront très voisins des positions O, A., B qu'ils occupaient pour m = o.
Nous aurons donc trois points, G voisin de O, A' voisin de A, B' voisin de B, cjui correspondront à trois solutions périodiques, la première de la première sorte, les deux autres de la seconde sorte .
Les courbes F ^ G présenteront alors la forme représentée sur la figure 3. Les courbes sont numérotées 1, 2, 3, 4, o, 6. On
Fio. 3.
remarquera que 1 et 12 sont des courbes fermées entourant le point G; c|ue 3 et 5 forment par leur réunion une sorte de limaçon de Pascal ayant le point A' pour point double ; que 4 est une courbe fermée entourant le point B' ; enfin c|ue 6 est une courbe fermée entourant les trois points A', B', G'.
Le point représentatif x^ y décrit une de ces courbes et sa
vitesse a pour composantes -i— < — ^j^; eiie est donc inversement
dy
364 CHAPITRK XIII.
proportionnelle à la dis lance normale de deux courbes infiniment voisines. Le sens de cette vitesse dépend du sens de la normale suivant lequel les F vont en croissant.
Les courbes 1, 2 et 3 seront donc décrites dans le sens des aiguilles d'une montre, par exemple; les courbes 4, S et 6 dans lé sens inverse. D'ailleurs, tandis que le point x^ y fera une infinité de fois le tour des courbes 1,2, 4 et 6, il ne parcourra qu'une seule fois les courbes 3 et 5 en allant du point A' au point A' dont il sera infiniment voisin tant pour t =z. — oo que pour ^ = + oo. La courbe 4 correspond au cas de la llhration.
Nos courbes fermées différeront peu de circonférences.
Rappelons que les coordonnées polaires du point x^y sont y^aS et s. Or on voit aisément que, quand on parcovirt une de nos courbes, S atteint son maximum et son minimum sur l'axe des x et que la différence entre ce maximum et ce minimum est en général de l'ordre de /«, sauf pour les courbes 3, 4, 5 ou pour les courbes peu différentes de 3 ou de 5, pour lesquelles cette différence est de l'ordre de y/m.
Parlons maintenant des variations de l'angle polaire 5. Nous voyons qu'en général, quand le point .r, y décrit une de nos courbes, s varie de o à iiz ou de air à o. Il y a exception pour la courbe 1 et pour la courbe 4 qui laissent l'origine O en dehors.
Pour ces courbes, l'angle s oscille autour de o.
Mais les deux cas sont bien différents; dans les deux cas, on a rigoureusement la relation suivante : le moyen mouvement d'Hécube est égal à deux fois le moyen mouvement de Jupiter moins deux fois le moyen mouvement du périhélie d'Hécube (je suppose que /i = i , comme cela a lieu dans le cas d'Hécube).
ds Cette relation signifie en effet que la valeur moyenne de -7- est
nulle.
Mais on sait cjue le mouvement du périhélie est de l'ordre des masses à moins que l'excentricité ne soit elle-même de l'ordre des masses; car, si l'excentricité est très petite, il suffit d'une très faible perturbation pour déplacer beaucoup le périhélie. Or, dans le cas de 4, l'excentricité est finie, le mouvement du périhélie est de l'ordre des masses, de sorte que le rapport des moyens
mouvements est égal à 2 = à des quantités près de l'ordre
des masses. On a une véritable librat.ion. Dans le cas de 1, au contraire, l'excentricité étant petite, le mouvement du périhélie est fini, de sorte que le rapport des moyens mouvements n'est pas
voisin de 2 = ; il n'y a pas de libration.
209. Influence de l'inclinaison. — Les équations qui donnent les variations de l'inclinaison prennent la forme très simple
E et H doivent être regardés comme des constantes, puisque U ^ const. L'intégration est donc immédiate.
J'ai dit c[ue l'on avait U ^ const.; et, en efTet, si je tiens compte de l'inclinaison, mais que je continue à négliger l'excentricité de Jupiter et les termes à courte période, F dépend seulement de U, x^ j, ^, ri, mais ne dépend ni de A, ni de ^ ; on a donc
— — = o, U = const., r = const.
210. Calcul de X. — La différence des longitudes moyennes de A se calculera par une simple quadrature.
On trouve en efTet
A', B', ... désignant les dérivées de A, B, . . . par rapport à U. Gomme U est une constante, les coefficients A', B', ... sont aussi des constantes; quant à x,y, ç, T|, ce sont des fonctions connues et périodiques du temps. Gela résulte, pour x et y, de ce fait que les courbes F = G sont fermées, et pour ^ et yi de la forme des équations (7).
Le dernier membre de (8) est donc une série Lrigonométrique dont la quadrature est immédiate. Le terme tout connu de cette série représentera alors le moyen mouvement de \.
M. Andoyer a poussé l'approximation plus loin en tenant compte des puissances supérieures de x et de y. Je ne puis que renvoyer à son Mémoire dans le Tome XX du Bulletin astronomique.
FIN DU TOIVfE I.
