LIVRE IV. DKS MACHINES

décomposée eu deux forces, l'une P appliquée enO, l'autre Q appliquée en C. Ainsi, on peut supposer que les deux forces P et Q sont appliquées à l'axe, l'une en 0, l'autre en C. On décomposera ensuite la force P, appliquée en 0, en deux forces parallèles, appliquées aux tourillons I et K, et de même la force Q appliquée en C, et l'on obtiendra ainsi la charge des deux tourillons. Si l'oit voulait tenir compte du poids du treuil, on décomposerait . aussi le poids p, appliqué au centre de gravité G, en deux forces parallèles, appliquées aux tourillons.

Considérons maintenant le cas où la puissance est appliquée en un point quelconque A de la roue et n'est pas parallèle à la résistance. Au point 1), extrémité du rayon horizontal OD, appliquons deux forces verticales P et F, égales a P et de sens contraires, ce qui ne change pas l'équilibre. Les ileux tangentes en A etD se rencontrent en H ; on peut amener en H la force P appliquée en A et la force P' appliquée en D; ces deux forces égales appliquées en I) ont leur résultante HL dirigée suivant la bissectrice, c'est-à-dire suivant le prolongement de la droite OH ; on pourra transporter celle résultante en 0, et là, au moyen d'un losange égal au précédent, la décomposer en deux forces, l'une parallèle à AH cl égale à P, l'autre verticale et égale àP'. D'un autre côté, d'après ce que nous avons dit précédemment, la puissance verticale P appliquée eu î>, et la résistance Q appliquée en 1), peuvent être transportées parallèlement à elles-mêmes, l'une au pointO, l'autre au point C. Nous avons ainsi trois forces au point U; les deux forces verticales P et P', égales et opposées, se détruisent; il resie la force P parallèle à AH. Ainsi, quand on veut évaluer les pressions supportées par l'axe, on peul supposer que la puissance et la résistance sont Lraiispor-

rtisAtL.

téés parallèlement à elles-mêmes, l'une au centre 0 de la roue, l'autre au point C. ' ' ■

268. Jusqu'à présent nrms n'avons pas lerui compte du frottement que les tourillons éprouvent sur les coussinets. Nous traiterons cette question dans le cas particulier où la puissance et la résistance sont verticales. Les deux tourillons appartiennent à un même cylindre géométrique ; ils s'appuient sur les eoiiïiiriels suivant une même arête de cecylindre; les normales soûl parai- fi b .is5. lèlus et les réactions R, et R, des deux coussinets sur les tourillons, faisant avec les normales le même angle y, sont parallèles {Jig. 192). La résultante R, et R, de ces deux réactions parallèles devant l'aire équilibre à la somme P+Q+p des forces qui sol- ■ licilent le treuil, ces réactions sont verticales, et l'on a

Quand le frottement est nul, le contact a lieu au poinl le plus bas '/du coussinet, alin que la réaction soit verticale. Mais, quand il y a frottement, le contact se déplace du coté de la puissance et vient en m, où la normale imi fait avec la verticale l'angle tp ; l'axe géométrique o reste immobile pendant toute la durée du mouvement, et c'est autour de cette droite fixe que tourne le treuil. L'équation des moments autour de l'àïc du treuil devient

' Vr— Qr'— (R, +R,)psin ? =fl, ou Pr-Qï-' — 'P-f-0+/>}.osin?=o.

jô'i LIVRE IV. DES JUCHISC*.

On eu déduit .. . , . . „. -.

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(3) p=iQL+ L .

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Le second terme exprime l'augmentation de ta puissance résultant du frottement. .

269. Nous avons supposé jusqu'à présent que les farces qui agissent sur le treuil se font équilibre, c'esl-à-dire que la somme algébrique des moments des forces, par rapport à l'axe, est nulle; alors le mouvement de rotation

Supposons maintenant que la somme dés moments des forées ne soit pas nulle, et désignons celte somme par G. Nous avons démontré (n° 218) que la dérivée relative au , temps de la somme des moments des quantités de mouvement des diverses molécules qui composent le corps est égale à la somme des moments des forces. Mais la somme des moments de quantités de mouvement est é,a;ale, à chaque instant, à la vitesse angulaire de rotation, « (n B 220) multipliée par le moment d'inertie du corps, sût ■ lide relatif à l'aie de rotation; on a donc l'équation

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Ainsi, quand"}/ i-.nrps hulule est assujetti ') tourner autour d'un axe fixe, la dérivée de lu vitesse angulaire de rotation est égale à la somme des moments des forées, divisée par le moment d'inertie du corps soliik.

Comme application, cherchons le mouvement d'un treuil soumis à l'action d'un poids P attaché à l'extrémité de la corde enroulée sur le treuil, et abandonné à lui-même sans vitesse initiale. Quand le mouvement est uniforme, la tension de la corde est égale au poids P; mais ceci n'a plus !ieu quand le mouvement est varié (n B 89(. Appelons T cette tension, r le. rayon du cylindre, MA* le moment d'inertie du cylindre par rapport à l'axe, M étant la masse du cylindre. Le corps P est sollicité par deux forces : son poids P, et la tension T de la corde qui le tire en sens inverse; le mouvement vertical de ce corps est donné par l'équation - .;. , , .

Le treuil lui-même n'étant sollicité que par la tension T de la corde, ou a d'autre païl , ...

On eu déduit .... , i, , .... • ...

La vitesse angulaire, ayant sa dérivée constante, croît proportionnellement au temps, et le mouvement est uniformément accéléré; : ' '>•■•"■■ •■•* <■''<•