LIVRE I. CINÉMATIQUE

45. Considérons une courbe gauche dans l'espace, c'est-à-dire une courbe non plauu; îcs langentaa MA, M'A' {fig. 3G) en deux points, même irèi-voisïns M et M', ne se rencontrent pas et ne sont pas situées dans un même Rg 3E plan ; par le point M me-

nons une parallèle MB à la tangente voisine M'A', ^tV"--^ les deux droites MA et MB déterminent un plan; imaginons maintenant que "' le point M' se rapproche indéfiniment du point M', la droite MB tournera autour du point M et se rapprochera de MA ; pendant ce temps, le plan AMB tournera autour de ta tangente MA et tendra vers une position limite ; cette position limite est ce qu'on appelle le plan osculateur à la courbe au point M.

Il est facile de faire voir que le plan AMB lend effectivement vers une position limite déterminée. Si, par un point arbitraire 0 [fig. 37), comme nous l'avons 37 fait déjà , on mène des parallèles

\ Oa , Oa' , à ces diverses tan-

ff<^~ ; — ~\° gentes MA, MA' à !a courbe pro-

^^■^ '\ posée, la droiteOacngendreraune y\ surface conique; le plan aOa' est / \ parallèle au plan AMB ; or le plan ' *i» aOa' tend vers une position limite qui est le plan tangent à la surface conique le long de l'arête Oa; le plan parallèle AMB tend donc vers une position limite parallèle à ce plan tangent.

définition de l'accéléuation.

L'accélération moyenne AG, étant située dans le plan AMB. il en résilie ijnn l'accélération AG ou MK au point M est située dans le plan osculateur à la courbe en ce

point.

Quand la courbe est plane, ie plan AMB est fixe, le plan osculateur eu chaque point coïncide avec le plan de la courbe. Dans ce cas, l'accéléra lion est constammeot située dans le plan de la courbe.

44. Par le point M d'une courbe, on peut mener une infinité de perpendiculaires à la tangente MA; chacune d'elles esl une normale à la courbe ; l'ensemble constitue le plan normal. Celle des normales qui est située dans le plan osculateur s'appelle normale principale; c'est l'intersection du plan normal et du plan osculateur. Quand la courbe est plane, la normale principale est la normale située dans te plau de la courbe.

45. Occupons-nous maintenant de la courbure. Considérons d'abord un cercle et supposons qu'un mobile décrive le cercle dans un certain sens; menons les tangentes en deux points M et M'; l'angle AlA' {fig. 38) de ces deux tangentes, prises dans le sens de la vitesse, est ce qu'on appelle l'angle de contingence relatif à l'arc MM cet angle est égal à l'angle au centre MCM' formé par les rayons qui aboutissent aux deux extrémités de l'arc. Il est clair que, dans un même cercle,

UTBE I. CINÉMATIQUE.

à des arcs égaux correspondent des angles de contingence égaux entre eux; on appelle courbure de la circonférence l'angle de contingence qui correspond à l'unité d'arc, o\i, ce qui est la même chose, le rapport de l'anglo de contingence à la longueur de l'arc. Désignons par r le rayon du cercle; l'angle de contingence a est mesuré par la longueur de l'arc oa'dans le cercle dont le rayon est égal à l'unité; on a donc

Ainsi ia courbure d'un cercleest mesurée par l'inverse du rayon. Quand le rayon devient deux, trois ... fois plus grand, la courbure devient deux, trois ... fois plus petite.

46. Considérons une courbe plane quelconque; l'anglede contingence* relatif à l'arc MM' est l'angle AIA' [fig. 39) formé par les tangentes aux deux extrémités de cet arc; le rapport

^s^-i' gjjp est ce qu'on appelle la courbure moyenne de l'are MM' ; c'est la courbure du cercle sur lequel un arc égal à MM' présente le même angle de contingence. Si l'on fait

tendre l'arc MM ' vers zéro, le rapport ou la courbure

moyenne de l'arc MM', tend vers une limite déterminée ; celte limite est ce qu'on appelle la courbure de la courbe au point M. Posons