LIVRE 1, CIMÉKATIOCE

Le premier facteur i>' sin ^ ayant pour limilezéro, et les

autres les quantités finies 1, -, u, le produit a pour limite zéro. On a donc

lim ÀH,=lim^=D,ti.

Telle est la projection de l'accélération sur la tangente; elle est égale à la dérivée de la vitesse considérée comme fonction du temps.

Ainsi, soit M {ftg. 41), la position du mobile au temps i,

accélé ratio u sur [a tangente et sur !a normale principale; la projection de [accélération sur la tangente est égale à la dérivée de la vitesse considérée comme fonction du temps; la projection sur la normale principale est égale au carré de la vitesse, divisé par le rayon de courbure. Les deux projections

étant connues, l'accélération sera représentée par la diagonale du rectangle construit sur ces deux longueurs.

Lorsque le mouvement curviligne est uniforme, la grandeur numérique de la vitesse étant constante, sa dérivée est nulle, et par suite ia projection de l'accélération sur la tangente est nulle. Dans ce cas, l'accélération eu

MA la tangente a la trajectoire, MK la normale principale menée du côté de la concavité, MG l'accélération qui est située dans le plan osculateur AMN ; nous avons trouvé les projections MP et MQ de celte

DÊmnnoH de l' accélération. 53 chaque point est dirigée suivant la normale principale MN, et elle est égale à^-; elle changea chaque instant de direction et varie en raison inverse du rayon de courbure.

Si le mouvement uniforme s'accomplit sur un cercle, l'accélération est dirigée suivant le rayon vers le centre,

et est égale à la quantité constante ~ ; c'est ce que nous

avons déjà trouvé en étudiant le mouvement circulaire uniforme (n° 39).

48. Pour montrer une autre application de ces principes, considérons le mouvement uniforme sur une hélice tracée sur un cylindre circulaire droit. Soit M la position du mobile au temps t sur l'hélice {f\g. 42), MA sa vitesse ; par le point M menons des parallèles aux diverses tangentes à l'hélice, et prenons sur chacune d'elles une longueur égale à la vitesse tj. On sait que les tangentes à l'hélice font un angle constant /3 avec les génératrices du cylindre; les parallèles menées par le point M formeront donc un cône de révolution autour de l'arête MC du cylindre, et le point A décrira sur ce cône un cercle d'un mouvement uniforme; la vitesse AB de ce second mobile donnera l'accélération du premier. Le plan osculateurà l'hélice au point H n'est autre chose que le plan tangent au cône suivant l'arête MA; c'est le plan mené par la tangente MA perpendiculairement au plan AMC tangent au cylindre; la droite AB,

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qui est située dans le plan osculateur et qui est perpendiculaire à la tangente HA, est parallèle à la normale principale MG ; la droite AB étant perpendiculaire au pian AMC, la normale principale MG est elle-même- perpendiculaire au plan tangent au cylindre au point M; elle rencontre en un point I l'ai» du cylindre et est perpendiculaire k cel axe. Pendant que le mobile proposé décrit

une spire entière dont la longueur est ^j^g, o désignant

le rayon du cylindre, le second mobile A décrit la circonférence du cercle dont le rayon est AC, circonférence dont la longueur est 2mi sin (3, puisque le rayon AG est égal à »sin(3; les mouvements étant uniformes, les vitesses sont proportionnelles aux longueurs parcourues; on a donc

AB iiitPsin gin* g .

sin/3

d'où MG=AB=Î^.

Telle est l'accélération dans le mouvement uniforme sur l'hélice; elle est dirigée suivant la normale principale.

On peut déduire de là le rayon de courbure r de l'hélice. Puisque le mouvement sur l'hélice est uniforme, on sait que l'accélération est dirigée suivant la normale principale

et égale à ^ ; en comparant cette expression k la précédente, on a r= gjjnj -

49. Considérons encore l'exemple suivant : supposons qu'immobile décrive un cercle d'un mouvement uniforme avec une vitesse u, et projetons ce mobile sur un plan pas-

BttmOm HZ L ACCÉLÉRATION. 55

sant par la centre du cerck;'la projection décrira uno el* lipse. Pour l'aire la figure, rabattons le plan du cercle autour du diamètre AA' [fig. 45) situe dans le plan de projection, c'est-à-dire au- Fit. 4*.

tour du grand axe de Tel-, lipaa. La vitesse M 'C du mobile M' sur l'ellipse est la projection de la vitesse MC du mobile M sur le cerele ; ~ elle est parallèle au diamètre OD' conjugué de OM ; etles deux diamètres conjugués OM', OD' de l'ellipse sont les projections des deux diamètres rectangulaires OH, OD du cercle. Si l'on représentait la vitesse du mobile sur le cercle par le rayon OD du cercle, la vitesse sur l'ellipse serait représentée par OD'; ainsi la vitesse sur l'ellipse est proportionnelle au rayon parallèle à la tangente. En désignant paru' la vitesse sur l'ellipse, et par %a le grand axe de l'ellipse, on a donc

i/OD'