LIVRE I. CnÉHATIUUE

Ainsi l'accélération sur l'ellipse est dirigée vers le centre de l'ellipse et proportionnelle au rayon OM'.

On peut déduire de là une espression du rayon de courbure r de l'ellipse. Soit M'N la normale à l'ellipse au point M', a l'angle qu'elle fait avec le rayon M '0; la projection de l'accélération sur la normale a pour valeur

y'cos«=^ .OM'cosa; ' a 3

mais on sait que cette projection est égale à — ; on a donc

--- = -» .OM'cosa; r a, 1

d'où

aV* ÔD 7 ' ÔD''

r ~ o».OM'.cos«~ OM'.cosa" OD'.OM'.cosa'

Le dénominateur OD'.OM'. cosh, mesurant l'aire du quart du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués, est égal à ab ; on a donc

Ainsi le rayon de courbure en un point de l'ellipse est proportionnel au cube du rayon parallèle à la tangente en ce point.