LIVRE II. DTNAMQU

154. Deuxième question. Considérons un pendule simple placé dans" la position verticale OA, el le pointmatériel animé d'une vitesse initiale ( u„ ; désignons par 6 l'angle variable AOM.el par a la hauteur \V{/igM); , si l'on pose vj = iqh, on a (!) =„„«-- a^ r 2 = a)7 (A-

an/ un? :

v* ^imr/ (À — z)

Quand A est moindre que le diamètre ir, le pendule oscille de part el d'autre de la verticale. Quand h est plus grand que ir, le pendule tourne indéfiniment.

L'équation (2) donne la tension N de la lige ; cette tension est positive ou négative suivant qu'elle est dirigée vers !e centre ou eu sens inverse. Lorsque la tige du pendule est rigide, elle peut exercer sur le point M une action dans l'un et l'autre sens; mais quand c'est un fil flexible, elle .ne peut que tirer le point M vers le centre. Dans ce cas, pour que le mobile tourne indéfiniment sur le cercle, il ne suffit pas que h soit plus grand que ir, il faut encore que la tension N reste positive ; comme au point A ', pour g = a r,OPaS= fflg(aA r ~ 5rl , la condition est/»*'-

Quand la hauteur h est moindre que r, il est clair que la tension est toujours positive. Mais quand h est comprise

entre )■ et — -, la tension change de signe au point C pour

lequel ; = —

; cette valeur de s étant moindre que h,

tu mobile possède encore au point C «ne certaine vitesse », donnée par ta formule v, 1 ^ — -- ' — ^; au delà du point C la tension devient négative. Si le fil est flexible, le mobile quitte le cercle au point C et se comporte comme un point pesant lancé, à partir du point G, avec la vitesse iui-

arc de parabole CDE langent au cercle au point C. On peut remarquer, en outre, que le rayon de courbure île la parabole au point C est égal au rayon r du cercle ; car la tension N étant nulle au point C sur le cercle, on a pour les deux courbes -= — jcos.8.

Quand on fait tourner en cercle un vase contenant de l'eau , pour que l'eau ne quitte pas le vase à la partie supérieure du cercle, ii faut que la vitesse, au point le plus bas, soit plus grande que \^5i/r.

Voici une 1 autre application de la mémo question : imaginons que dos rails de ebemin de 1er soient placés sur un plan incliné I {Jly. 97) et que, à la suite; 'des rails courbes soient disposés ■ fï,. n.

suivant un , cercle vertical ; , un wagon est placé au point I sans vitesse initiale; arrivé en E, il s'engage dans le chemin circulaire. Si l'on appelle //la hauteur AH du point de départ lau-dt^snsdu point le plus bas A, la vitesse en A sera égale ! A\fnjli; il est clair que le chemin circulaire ne peut exercer sur le rayon qu'une réaction normale dirigée vers le centre; pour que le wagon uc quitte pas le cercle, il i'aut donc que la hauteur h soit plus grande que — .