LITRE H. DYNAMIQUE

Ainsi, lie quelque manière {mon s'y prenne, pour imprimer à un corps en repos une vitesse f , il faut une quantité de travail moteur égale à la puissance vive.

Inversement, quand u—o, on a

Ainsi, de quelque manière qu'on s'y prenne, pour arrêter un corps on mouvement, il iaul une quautilé. de travail résistant égale à la puissance vive.

Pour faire bien comprendre celte transformation du travail en puissance vive et réciproquement, imaginons deux ressorts à boudin A et B, placés en regard l'un de l'autre ; le premier est comprimé, le second ne l'est pas. Une bille est placée contre le premit'ir ressort; on lâche la détente ; le ressort A pousse la bille et lui imprime une vitesse v; la quantité de travail moteur, développée par le ressort,

est égale à la puissance vive communiquée à la bille.

La bille vient frapper le second ressort et le comprime peu à peu jusqu'à ce que sa vitesse devienne nulle; la quantité de puissance vive que possédait la bille est égale

au travail résistant développé par le ressort B pendant sa compression. Ce ressort B se détend à son tour et imprime à la bille la vitesse v, et ainsi de suite indéfiniment. Dans le premier cas, le travail se change eu puissance vive ; dans le second cas, la puissance vive se change en travail, etc. Ces deux quantités, travail et puissance vive, sont donc équivalentes l'une à l'autre.

132. Corollaire H. Un corps pesant, placé au point A, avec une vitesse initiale v Q , se meut sur une courbe fixe

AB {jùf. 95). Le corps est sollicité par deux lbrces, son poids mgret la réaction normale N de f*. h.

la courbe. La réaction normale N ne développe pas de travail. Le poidsétant une force constante en grandeur et en direction, son travail {n° 127) esterai à la force my multipliée par la projection c ■ sur la verticale de la courbe AB décrite par le mobile ; si l'on appelle 3 celle projection AC, prise avec le signe -+- ou avec le signe —, suivant qu'elle tombe de haut en bas ou de bas en haut, le travail dù au poids du corps est représenté par mgz. En désignant par v la vitesse au point B, on a, d'après le théorème précédent,

Lorsque la vitesse initiale v„ est nulle, celte équation se réduit à

La vitesse au point B est la même que si le corps était tombé de la hauteur AC, en chute libre, c'est-à-dire suivant ia verticale. Si l'on imagine que le corps, parlant du point A, avec la même vitesse initiale, suive diverses combes AB, AB', AB", ... il aura la même vitesse aux points B, B',B", ... situés dans un même plan horizontal.

Quand le corps descend, ie travail du poids étant positif, la vilesse augmente; mais quand le corps monte, le travail étant négatif, la vilesse diminue. Supposons, par exemple, le mobile placé au. point A 94), sans vitesse initiale, sur une courbe fermée, située dans un plan ver-

108 HVB

n*im. ttcal; le -corps ■descend jusqu'au point ■Je pins bas B avec une vitesse- crois i( santé ; iYa'éikte ensuite de ï autre coté :c une vitesse décroissante, jusqu'à ce qu'il arrive au point A', situé à la même hauteur que le point A; alors la vitesse redevient nulle; car le travail du poids pour la courbe ABA' est nul. Le corps redescend ensuilc de A' en B, pour remonter de B on A, et ainsi de suite. Le mouvement se compose d'une suite indéfinie d'oscillations égales.

Supposons maintenant que le mobile placé eu A soit animé d'une vitesse initiale v B , dans la direction indiquée par la flèche. Le mobile descendra jusqu'au point B avec une vitesse croissante, puis remontera de l'autre côté; quand il sera arrivé au point A' situé à la même hauteur que le point A, Sa vitesse redeviendra <\ealc à r 0 et le mobile continuera à s'élever avec une vitesse décroissante. On peut concevoir que la vilesse initiale v„ correspoude a une hauteur de chute h, ce qui revient à poser v£='àg&; l'équation prend la forme

Soit C le point le plus haut de la courbé, CD son élévation au-dessus de l'horizontale AA'; il y a plusieurs cas à distinguer : 1" si la hauteur h, que nous figurons par KD, est moindre que CD, le mobile s'élèvera jusqu'au point E', où il arrivera avec une vitesse nulle ; puis il oscillera indéfiniment de E' en E et de E en E', comme nous l'avons expliqué ; 2° si Sa hauteur h est plus grande que CD, le corps s'élèvera jusqu'au point le plus haut C, où il possédera encore une certaine vitesse; il dépassera donc le

rlUVAIL ET PUISSANCE VIVE. J09

point C et se mouvra sur ta courbe, indéfiniment dans le mémo sens, reprenant la même vitesse au même point; 3" quand la hauteur h est égale à Cl), !e mobile tend vers le point C. mais sans .jamais l'atteindre rigoureusement.

153. Première qoestion. Supposons qu'un pendule simple soit placé dans la position horizontale O.Y sans vitesse initiale [fig. 95), ce pendule oscillera de part et d'autre de la verticale OB, décrivant le demi-cercle ABA'. Soit OM une position quelconque du pendule, 0 l'angle variable MOB. Le mobile M est sollicité par deux forces, son poids mg et la tension N do la lige ; d'après ce que tig, »s.

nous avons dit, la vitesse en M sera ( o k .

la même que si le mobile tombait de la hauteur OP ; on aura donc tf—ifft-ms 0. Décomposons le poids en deux forces, une composante tangentielle mpsin 0 el une composante normale mycose, dirigée suivant le prolongement de la tige. La résultante N — nt'jcosQ des deux forces normales doit être dirigée

suivant le rayon MO et égale à 2^-. On a donc

N — m'j cos 0 = — = img cos 9 ; d'où N=3»iycos0.

Quand le mobile passe au point le plus bas B, la tension de la tige est égale à trois ibis le poids du mobile.