Corollaire I. Quand Vo=o, on a

Ainsi, de quelque manière qu'on s'y prenne, pour imprimer à un corps en repos une vitesse v^ ii faut une quantité de travail moteur égale à la puissance vive.

Inversement, quand v=o, on a

Ainsi, de quelque manière qu'on s'y prenne, pour arrêter un corps en mouvement, il faut une quantité de travail résistant égale à la puissance vive.

Pour faire bien comprendre cette transformation du travail en puissance vive et réciproquement, imaginons deux ressorts à boudin A et B, placés en regard Tun de l'autre; le premier est comprimé, le second ne l'est pas. Une bille est placée contre le premier ressort; on lâche la détente ; le ressort A pousse la bille et lui imprime une vitesse v; la quantité de travail moteur, développée par le ressort,

est égale à la puissance vive communiquée à la bille.

La bille vient frapper le second ressort et le comprime peu à peu jusqu'à ce que sa vitesse devienne null^; la quan-

tité de puissance vive — que possédait la bille est ^ale

au travail résistant développé par le ressort B pendant sa compression. Ce ressort B se détend à son tour et imprime à la bille la vitesse v, et ainsi de suite indéfiniment. Dans le premier cas, le travail se change en puissance vive ; dans le second cas, la puissance vive se change en travail, etc. Ces deux quantités, travail et puissance vive, son^donc équivalentes l'une à l'autre/

132. CoROLLAiEE II. Uu coFps pcsaut, placé au point A, avec une vitesse initiale v^, se meut sur une courbe fixe

TRAvia ti l^uissÀiîcÉ We. \ 67

AB \fig. 9B). Le coi*ps est sollicité par deux forces, son poids mg et la réaction normale N de Fig. »3.

la tourbe. La réaction normale N ne développe pa* de travail ; Le poîdfe étant une flMw coâstttttté en grandeur et en direction; sdn travail (n^ 127) est égal à la ftrciB mg multipliée par là projîectioii sur là verticale dé la Courbe AË décrite par lé mobile; ai Ton appelle i cette projection AC, JJrise avec le signe + ou avec le signe — , suivant qu'elle tombé dé haut éri bas oU de bas en haut, le travail dû au poids dii corpfe est représétité parm^jg. En désignant par t) la vitesse au point B, on tt, d'après le théorème précédent,

mgz,

Lorsque la vitesse initiale r?o ©st nulle, cette équation se réduit à

La vitesse au point B est la même que si le corps était tombé de la hauteur AC, en chute libre, c'est-à-dire suivant la verticale. Si Ton itnàginequé le dorps, partant du poiiit A , avec la même vltesàe initiale , suive diverses èbUrbeè AB, AB^ AB^, ..i il aura là même vitesse aux points B, B',B^, ... situés dans un même plan horizontal. Quand le corps descend, lé travail du poids étant positif, la vitesse augmente ; niais quand le corps monte, le travail étant négatif, là vitesse diminue. Supposons, par etemple, le mobile placé ati point A {fig.^9i), sans Vitesse initiale, dur une courbé fermée, située dans un plan ver-

livtu! II. ATAionoufe.

134. Deuxième question. Considérons un petldule simple placé dans la position verticale OA, et le point matériel animé d'une vitessd initiale Vq ; désignons par l'angle variable AOM, et par z la hauteur AP(/?y. 96); si Ton pose VQ=igh, od à

(1) v'=v^^—igz=ig[h'

N — m^cos0= = — ^ i,

img[h'-'z) mg{r^z)

Quand h est tnoindf é qile le diaraètfe ar, le pendule oscillé de paft et d'autre de la Vêfticalé. Quand h est plus grand que ar, le pendule tourne iùdéfinitiielit.

L'équation (il) donne la tôtision N de là tige t tiettë tension est positive ou négative suivant qu'elle est dirigée vers le centre ou en sens inverse. Lorsque la tige du pendille est rigide, elle peut exercer sur le point M une actiott dans l'un et l'autre sens ; mais quand c'est Un fil flexible» elle lie peut que tirer le point M vers le centre. Dans ce cas* pour que le mobile tourne indôfliliment sur le cercle, il ne suffit pas que h soit plus grand que ar, il faut encore que la tension N reste positive ; comme au point A', pour

2=ar, on a N== ^ — -, la condition est A> — .

Quand la hauteur h est moindre que r, il e^t clair que la tension est toujours positive. Mais quand h est comprise

entre r et —, la tension change de signe au point C pour lequel z= — —; cettç valeur de z étant moindre que A,

TRAVAD. B7 PUISSANGB VIVE. 1 71

le mobile possède encore au point C une certaine vitesse

v, donnée par la foi*mtile V= ^^ 3~ ^^ ^^ ^^'^ ^^ P^^'^* C la tension devient négative. Si le fil est flexible, le mobile quitte le cercle au point C et se comporte comme un point pesant lancé, à partir du point C, avec la vitesse initiale v^ suivant la tangente au cercle ; il décrit donc un arc de parabole CDE tangent au cercle au point C. On peut remarquer, en outre, que le rayon de courbure de la parabole au point C est égal au rayon r du cercle ; car la tension N étant nulle au point C sur le cercle, on a pour

les deux courbes — = — ocosO.

Quand on fait tourner en cercle un vase contenant de Teau , pour que Teau ne quitte pas le vase à la partie supérieure du cercle, il faut que la vitesse, au point le plus bas, soit plus grande que VSgr.

Voici une autre application de la même question : imaginons que des rails de chemin de fer soient placés sui* ut) plan incliné I (fig. O^ï) et que, à la suite, des rails courbes soient disposés ^\g.9i.

suivant un cercle vertical ; un wagon est placé au point 1 sans vitesse initiale; arrivé en E, il s'engage dans le chemin circulaire. Si Ton appelle h la hauteur AH du point dedépart I au-dessus du point le plus bas A, la vitesse en A sera égale à ^^gh; il est clair que le chemin circulaire ne peut exercer sur le rayon qu'une réaction normale dirigée vers le centre ; pour que le wagon ne quitte pas le cercle,

il faut donc que la hauteur h soit plus grande que — .

t72 LITRB U. DTHAMIQVE.

1<^ Un point pesant tombe d'un pdnt donné sans vitesse initiale; au moment où le corps est abandonné à luimême, un second mobile, placé au-dessous du premier sur la même verticale, est lancé de bas en haut avec une vitesse donnée, trouver le point de rencontre des deux mobiles.

2® Un point pesant tombe d'un point donné A sans vitesse initiale ; dans quelle direction faut-il lancer un second mobile, à partir d'un point donné et avec une vitesse donnée, pour qu'il rencontre le premier dans sa chute, et trouver le point de rencontre?

3® Même question, quand le premier mobile est lancé dans une direction quelconque.

¥ Quand une droite coupe en deux points la parabole décrite par un projectile pesant dans le vide, les projections des vitesses aux points d'intersection sur la droite 3ont égales et de sens contraires.

5^ Trouver le mouvement d'un point matériel animé d'une' vitesse verticale donnée, et repoussé par un point fixe proportionnellement à la distance.

6® Trouver le mouvement d'un point attiré par une droite fixe proportionnellement à la distance, et animé d'une vitesse initiale parallèle à cette droite.

7® Un point matériel décrit une ellipse sous l'action d'une force perpendiculaire au grand axe, trouver la loi de cette force.

8® Un point pesant repose sur un cercle vertical et glisse sur un cercle sans frottement, trouver le point où il quitte le cercle.

9^ Trouver le mouvement d'un point matériel sollicité par la pesanteur et par une force dirigée vers un point fixe et proportionnelle à la distance.