THÉORÈME

130. La variation de la puissance vive dun mobile, pendant un certain temps, est égale à la somme des travaux des forces qui agissent sur le mobile pendant le même temps.

La somme des travaux des forces est égale au travail de leur résultante R (n<> 128). Nous avons vu (n^ 126) que, si l'on considère le travail T de la force R comine une fonction de Tare s décrit par le mobile sur la trajectaire pendant le temps ^«^ cet te fonction admet pour dérivée la projection de la force sur la tangente, c'est-à-dire R cos  ; on a donc

DJ=RcosA.

La résultante R des forces qui agissent sur le mobile étant égale au produit de laccélération y par la masse m du mobile (n® 100), on a D,T=W7 cos A; d'autre part, la projection y cos A de l'accélération sur la tangente ayant pour expression H^v (}à? 47), il vient

D,T=mD|V.

Cherchons la dérivée du travail par rapport au temps. On a

AT AT A5 ^t~ ^s^ àt'

suite ce n'est pas la quantité mv* qui se présente dans les théorèmes de mécanique, mais sa moitié ^^; c'est pourquoi nous avons adopté fexpression puissance vive^ proposée par M. Bélanger, professeur à l'École pôlyteobnique, pour désigner la quantité ^.

et par suite

,. AT ,. AT^,. A5 lim^ = lim-xlim-,

ou D J = vhj: = mvDtV.

Si l'on remarque que

mvDtV=Dtl 1,

on a finalement D|T=Dj — J.

Ainsi le travail et la puissance vive sont des fonctions du temps qui ont leurs dérivées égales. Hlais on sait que deux fonctions qui admettent la môme dérivée ne diffèrent que par une constante ; on a donc

Si Ton compte le travail à partir du temps t=o^ et que Ton appelle Vq la vitesse du mobile à cet instant, on devra avoir

0= ht,

dou C=5= ,

et par suite T=

Ainsi, la variation de la puissance vive, pendant un certain temps, est égale à la somme des travaux des forces qui agissent sur le mobile pendant ce temps.