Ce théorème peut être étendu à un nombre quel
GOMPOSITIOM DEa. FORGES PARALLÈLES. 185
conque de forces parallèles. Désignons par F, F', P... les forces proposées, affectées chacune du signe + ou du signe — , suivant qu'elle est dirigée dans un sens ou dans l'autre . Leur résultante R est égale à la somme algébrique des forces proposées, ot^ron a
Menons un plan MN parallèle aux forces et tel que les points d'application de toutes les forces et de la résultante soient situés d'un même côté du plan. Si Ton appelle Rj la résultante des deux forces F et F', on a, d'après ce qui a été démontré,
m' de R,==m' de P+ mf de F'.
Si Ton appelle R, la résultante des deux forces R, et F'^ on a de même
m' de R,= m^ de R. + m' de F", et par suite
m^e R;= m* de F -h wï' de F'-t- m' de F'\
En continuant de cette manière, on voit que le moment de la résultante R de toutes les forces proposées est égal à la somme algébrique des moments de ces forces.
146. Nous avons supposé dans ce qui précède que le plan par rapport auquel on prend les moments laisse tous les points d'application d'un même côté. On fera disparaître celte restriction, en convenant de regarder comme positives les perpendiculaires AA', BB',... situées d'un côté du plan MN, comme négatives les perpendiculaires CC%... situées de l'autre côté [jig. 107).
Appelons jz, z-, z'',,.. lés perpendiculaires abaissées des
186 LITRE in« tornUBM ET HOSYMSnr DBS nvrÈMES tigi 197.
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points d'application des fonceâ proposées sur le plan HN, perpendiculaires affectées chacune du signe convenable, appelons de même 2 la perpendiculaire abaissée du point d'application I de la résultante, et affectée du signe convenable. Menons un plan M'N' parallèle à MN fi' et à une distance telle que ce plan ■" ^ laisse tous les points d'application
d'un même côté, et désignons par h la distance des deux plans MN, M'N'. Si l'on prend les moments par rapport au plan M^% on a
(1) RX IF==^FX AA"4- F' X B»'-h F" xCC''+...
Mais on a aussi
Si l'on multiplie par h tous les termes de cette égalité, il vient
RxAî=Fx^-f-F'xA-|-F'xA+...
En retranchant Tégalité (2) de l'égalité (1) membre â membre, on obtient l'égalité
RX(n"— A)=FX(AA''— A)-hF'x(BB''-A) +F"X(CC''-A)-h..*
La différence des longueurs qui forme chaque parenthèse est égale à la perpendiculaire abaissée sur le plan MN et affectée du signe -f- ou du signe — , suivant qu'elle est située d'un côté du plan ou de l'autre côté. On a ainsi
RZ=F« + FV-h FV'4-..
^ mummmii bes vorceb MiiAiitALis. 187
44T. Voici aomment on se sert de ce théorème pour déterminer le centre des force» parallèles. Par un point menons trois plans perpendiculaires entre eux (fig. 108). Appelons x, y, .2 les ùoôrdoùûées du Fig. los.
point d'application A de ia fbrcéï*; x', y', z' celles du point d'application B de la forbe F', etc.; et enfin X, t, 2 celles du point d'application I de la résultante R. Le centre des forces parallèles étant indépendant de la direction des forces parallèle», on supposera que ces forces deviennent parallèles successivement à chacun des plans des coordonnées, et on prendra les naoments par rapport à ce plan. Si Ton rend les forces parallèles successivement à chacun des plans yoz^ zox^ xoy^ et qu'on prenne les moments par rapport à chacun d'eux, on obtient les trois équations
RY=fV+Fy+...
VÏlX:^P^+FV+...,
qiii déterminent les troil coordonnées X, Y, Z du centre d(es foroes parallèles.
La grandeur de la insultante e^ (oonnue et donnée par la relation .
148. Etant dontté tin système de fot^ces parallèles, si la somme algébrique des forces n'est pas nulle, elles admettent une résultante R égale à cette somme. Pour déterminer la position de la droite suivant laquelle agit la résultante, il suffit de prendre les aaotoents des forces par
188 LITRE m. ÉQUILIBRE ET MOUVeMEnT DES STSTÈKES.
rapport à deux plans zoy^ zox parallèles à leurdireclion; ce qui donne les deux équations
... ( RX=Far+FV+...
^ ^ • ( RY=Fy + Fy+...
Les valeurs de X et de Y qu'on en. déduit déterminent une droite parallèle à oz ; c'est suivant cette droite qu'agit la résultante; on peut supposer la force appliquée à un point quelconque de cette droite.
Lorsque les forces proposées ont une somme algébrique nulle, elles n'admettent pas de fésultante; elles se réduisent à un couple ou se font équilibre. Si Ton appelle R' la résultante des forces qui agissent dans un sens, — R' la résultante des forces qui agissent en sens contraire; X' et Y', X" et Y" les coordonnées des points d'application V et F de ces deux résultantes, et qu'on prenne les moments par rapport aux deux plans zoy^ zoxj on a
i R'(X'— X'')=Fa;+F'a:'+...
<^' j R'(Y'— Y'0=Fy+Fy+-...
Quand les deux résultantes R' et — R' sont directement opposées, elles agissent suivant une même droite parallèle à l'axe oz, et l'on a X'=X'', Y'= Y". Les équations (4) se réduisent alors à
Réciproquement, quand ces deux conditions sont remplies, on a
