CENTRES DE GRAVITÉ

449. Les poids des diverses molécules qui eomposent un corps solide sont des forces parallèles et de même sens ; leur résultante, qui est égale à leur swnme, s'appelle ïe poids du i^orps. Le point A application de cette réaul tante, ou le centre de? for<5e& parallèles, porte spécialement le nom de centra de gmvité^

D'après ce que nous avons dit précédemment, il est clair que la-position du centre de gravité dans le corps ne change pas, quand od donne au corps solide diverses positions ; d'ailleurs, on peut remarquer que faire tourner le corps solide, sans changer la direction des forces, revient à changer la direction des forces parallèles par rapport au corps solide supposé immobile. Le centre de gravité d'un corps solide doit donc être regardé comme un point parfaitement déterminé, situé à l'intérieur du corps et indépendant de la position du corps.

150. Nous avons défini la masse d'un point matériel ou d'une molécule. La masse d'un corps est la somme des masses des différentes molécules qui le composent. Lorsque des parties de même volume dans le corps ont des masses égales, on dit que le corps est homogène, et Ton appelle densité du corps la masse renfôinée sous Tunité de volume, c'est-à-dire la masse d'un mètre cube. Ainsi, le poids d'un mètre cube d'eau étant 1000 kilogrammes,

• la densité de l'eau est égale à . Si l'on appelle V le

GK»T|iP3 w OKAvnrfi. « 191

volume d'un corps homogène, d sa deqsité, M sa maaseï P son poids, on a

M=rfV, f=mg=^gdy.

Quand un corps est homogène, on peut concevoir sa mass^ cQBime répartie uniformément ot d'une manière centiiiiiç danp tout le \olume occupé par le corps. On a^imile ain^, par la pensée, le corps à un volume continu, ©t on rg^mène la recherche du centre de gravité à une questiop purement géométrique.

liorsqu'un corps a une épaisseur très-petite, si Ton (ait abstraction de cette épf^isseur, o^ assimile le ôorps à une sufface; telle est, par exemple, une feuille de tôle très-mipce. Quand des aires égales ont des ma§3es égales, on dit que la surface §st homogène-

Pe même, lorsqu'un qorps a une épaisseur et une largeur très-petites, gi Ton fait abstraction de ces deux dimensions, on l'assimile à une ligne; tel est, par exemple, uo ûl de fer trèa^mince. Quand de§ longueurs égales ont des masses égales, on dit que la ligne est homogène, Dana ce qui va suivre, uQusi ne considérerons que des corps homogènes, lignes, surfaces ou volumes,

151 . Lorsqu'un corps homogène a un centre de figure 0, il est clair que le centre de gravité coïneide avec le centre géométrique. On peut concevoir, en effet, que le corps soit con^po^ de moléçulea ou de pointa ma- f^* \^'

térielfi égaux m et m', placés deux à deux symétriquement par rapport au Cûnt]:eO (^^. 109). La résultante des poids dcBdeux points matériels m et m!

eât appliquée au milieu de la drpsite mm^^ c'est-à-dire au

Fig. 110.

192 LIVRE m. ÉQUIUBRE ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES.

centre du corps. Ed opérant de même pour chaque couple de points symétriques, on aura un certain nombre de forces appliquées au point : la résultante totale est donc appliquée en ce point.

De même, lorsqu'un corps homogène a un plan de symétrie P {fig. 110), il est clair que le centre de gravité est situé dans ce plan. On peut, en effet, regarder le corps comme composé de points matériels égaux m et m', symétriquement placés deux à deux par rapport au plan P ; la résultante des poids des deux points matériels m et w'est appliquée au point e, milieu de la droite mm' et situé dans le plan P. On aura ainsi un certain nombre de forces parallèles ayant leurs points d'application dans le plan P ; le point d'application de leur résultante sera aussi situé dans le plan P.

Il résulte de là que le centre de gravité d'une ligne droite homogène est au centre, ou au milieu de la droite ; que le centre de gravité d'un cercle homogène coïncide avec le centre du cercle, et que de même le centre de gravité d'une sphère homogène coïncide avec le centre de la sphère.

Centar* de gravité d'un triangle.

152. Nous ferons remarquer d'abord que le centre de Fig. ai. gravité d'un parallélogramme ho-

mogène coïncide avec le centre du parallélogramme, qui est le point d'intersection des diagonales {fig. 111); on peut dire encore

CENTRES DE GRaYITÉ. 195

que le centre est le milieu de la drc milieui[ de deux côtés parallèles.

^ . , , , ^ d'un triangto.

CoDSiderons maintenant un trian

{fia. 112); joignons le sommet A a . , „ .

.«r. . 1 . *x. n triande formé avec

oppose BC ; partageons la droite AD , , • j ■. ^^ .1 . (. Les poids des trois

en un certain nombre de parties p.

égales; par les points de division D', D'', ... menons des parallèles au côté BC, et par les points B', C, B", C", ... où ces droites rencontrent les deux côtés AB et AG du triangle, menons des parallèles à la droite AD , nous formerons ainsi un certain nombre de parallélogrammes. Le centre de gravité du premier parallélogramme est situé au milieu de la droite DD% qui joint les milieux de deux côtés parallèles; le centre de gravité du second parallélogTamme est situé de même au milieu de la droite D'D", et ainsi de suite. Les poids des divers parallélogrammes étant appliqués en des points de la droite AD, le centre de gravité de leur somme, ou le point d'application de la résultante, est situé aussi sur la droite AD. Supposons maintenant que Ton augmente indéfiniment le nombre des divisions de la droite AD, il est clair que la somme des parallélogrammes a pour limite Taire du triangle ; on en conclut que le centre de gravité du triangle est situé sur la droite AD, qui joint le sommet A au milieu du côté opposé.

De même, le centre de gravité du triangle est situé sur la droite BE, qui joint le sommet B au milieu E du côté opposé AC {fig. 113) ; il se trouve donc au point d'intersection G des deux droites AD et BE. Le centre de gravité devant aussi être situé sur la troisième médiane CF, on en

194 LITRE in. ÉQUILIB1II^ BT MOUTRIOnir DBS STSTÊMES.

centre d u coi'psT En oi conclut que les trois médianes d'un points symétriques, < triangle passent par le centre de appliquées au point gravité. La droite DE, qui divise en pliquée en ce point, ^jeux parties égales les deux côtés De même, lorsqu'u CB et CA du triangle, est parallèle métrie P [fig. 110), ^^ troisième côté AB et en est la

Fjy nn Si moitié; les deux triangles DGE,

AGB sont semWables et donnent les rapports ^aux