GD DE 1 AG~AB
Ainsi» la distance GD est la moitié de AG, ou bien est le tiers de AD.
On dira donc que le centre de gravité dun triangle est sur une médiane y au tiers à partir de la base.
153. On' peut remarquer que le centre de gravité du triangle coïncide avec celui de trois masses égales placées aux trois sonmaets du triangle. En effet, la résultante des deux forces égales appliquées en B et G est une force double appliquée au milieu Dde la droite BG^/îj^. 114^, Pour Fig. 114. avoir le point d'application de la ré-
, . A sultante de la force simple appliquée
y 4 \ ^^ ^ ^^ ^^ ^^ ^^^^^ douWe appliquée '"' / ^^ , en hy il faut diviser la droite AB, en
/ \ deux parties inversement proportion-
^ ^ ^ neUes aux forces, et paî ooaséqment dans le rapport de 2 à 1 ; le centre de grmté des trois masses égales coïncide donc avec celui du trian^eABG.
GllMfltiâ M GHlA^ffË. 195
Centre de gravité du pérlniètre d'an triangle.
154. Considérons le périmètre d'un triangle formé avec un fil matériel homogène [fig. 115). Les poids des trois côtés du triangle sont des forces Fig. us.
parallèles appliquées en leurs milieux D^ E, F, et proportionnelles aux longueurs des côtés; il faut trouver le point d'application de la résultante de ces trois forces. Le point d'application H de la résultante des forces appliquées en E et F divise la droite EF en deux parties inverse-* ment proportionnelles aux forças, et par conséquent proportionnelles aux longueurs des côtés AB et AC, ou à leurs moitiés DE et DF; on a donc
HË AB IDE HF'^AC^Dr
Dans le triangle DEF, la droite DH, qtri divise le cdté ÈF tn deux parties proportionnelles atïx côtés DE et W, est bidseètméde l'angle EDP. 11 fatit ensuite composer la force appliquée éfi H et la force appJiqtiée en D; le point d'applic»tiofi delà résultante, ou le centre de gravité cherché, est situ* sur la droite DH. Dé même, le centre de gravité est sittté sfur chactine des bissectrices du triangle DEP, et par conséquent à leur point d'intersection, c'est-â-dire au eentré du éefcle inscrit dans ce triangle. Ainsi, le centre de fftMiié du périmètre dun triangle ùoîndde atee le centre du cercle inscrit dans le triangle qui a pour sommets les miiieuâc des côtés du triangle proposé.
196 LIYRE m. ÉQDlUnUS ET MOUTBXEErr DES STSTÈXES. Centre de grevlté d'«n tnpiw.
155. Nous remarquons d*abord que le centre de gravité de l'aire d'un trapèze homogène ABGD [fig. 116) est si- Fig. 116. tué sur la droite EF qui joint les
milieux des côtés parallèles. En effet, prolongeons les côtés non parallèles jusqu'à leur point d'intersection H ; la droite HE, qui va du sommet H au milieu du côté opposé :^ AB, passe par le milieu de la droite parallèle DG. Le triangle HÂB étant la réunion du trapèze ABGD et du triangle HDG, le poids de ce triangle est la résultante du poids du trapèze et du poids du triangle supérieur ; les points d'application des poids des deux triangles étant situés sur la droite HE, on en conclut que le point d'application du poids du trapèze, ou le centre de gravité du trapèze, est aussi situé sur cette même droite EF.
Partageons maintenant le trapèze en deux triangles par la diagonale BD : le centre de gravité 6' du triangle DAB est situé sur la médiane DE, au tiers à partir du point E ; le centre de gravité G'' du triangle BGD est situé sur la médiane BF, au tiers à partir du point F. Si l'on regarde les poids des triangles comme des forces parallèles appliquées en ces points G' et G", le point d'application de leur résultante sera le centre de gravité du trapèze ; on en conclut que le centre de gravité G du trapèze est situé sur la droite G'G", au point où cette droite coupe la droite EF.
