CENTRES DE GRAVITÉ

Centre de gr«¥lté d'an prieme triangulaire.

160. Il est évident que le centre de gravité d'un parailélipipède homogène coïncide avec le centre du parai I élipipède.

Soit un prisme triangulaire homogène ABCA'B'C (fig. 131 ). Menons la médiane ÂD du triangle ÂBC ; divisons-la en un cer- Fig. lai.

tain nombre de parties égales; par les points de division , menons des plans c^ parallèles à la face latérale BCC'B' du prisme, et» par les points où ces plans rencontrent les arêtes AB, AC, conduisons des plans parallèles au plan DAA^ nous inscrirons ainsi dans le prisme triangulaire un certain nombre de parallélipipèdes.

Le centre de chacun de ces parallélipipèdes est situé dans le plan DAA% et aussi dans le plan A^B^G, qui divise les arêtes latérales du prisme en deux parties égales ; il est situé par conséquent sur la médiane A^D^ du triangle A,B,C,. Le centre de gravité de la somme des parallélipipèdes est donc situé sur la médiane A^D,, Si l'on augmente indéfiniment le nombre des divisions de la médiane AD, la somnie des parallélipipèdes a pour limites le prisme triangulaire ; on en conclut que le centre de gra- ^ vite du prisme trian-i gulaire est situé sur

Fig. 132.

S06 LITBE m. ÉQUILIBRE Bf MOUtBliem DES STSTÈHES.

la médiane A^D,. Etant situé de même sur ehacune des autres médianes, il coïncide avec le centre de gravité du triangle A,B,C, {fig. 122). On peut dire aussi que le cetrtre de gravité du prisme est au milieu de la droite G'CK qui joint les centres de gravité des bases parallèles du prisme.

CentM de gniTlté d'an prisme qneloo«q«e.

161. Considérons maintenant un prisme q^dconque homogène (fig. 123). A l'aide de plans diamétraui, ou Fig. 138. ^^ divisera en un certain nombre df

prismes triangulaires* Par le point A,, milieu d'une arête latérale AAS menons un plan parallèle aux plans des bases; ce plan coupera le prisme suivant un polygone A.B.C.D., égal aux bases du prisme. D'ajvès ce que nous venons de dire, les centres de gravité des prismes triangulaires ABEA'B'E', BCEB'CEr, CBEC'D'E' coïncident avec les centres de gravitéG,, G,4 G, des triangles A,B,E„ B,C,E„ C.D^E,. 11 faut en ces points appliquer des forces égales am poids des prismes triangulaires; mais ces poids sont proportionnels aux volumes, et par suite aux surfaces des bases A,BjE,, B^C.E, , C,D,E, , puisque lahaateur est la même. Aux centres de gravitéG^,^},, 6, des triangles sont donc appliquées des forces proportionnelles aux aires de ces triangles ; on en conclut que le centre de gravité du prisme coïncidé aveu le centre de gravité G du polygone A.B^C.D,.

Il est évident que les centres de graviié dtB s^^OM pa*

CENTRES 0E CHRAYITÉ.

rallèles sont situés sur une même droite parallèle aux arêtes latérales du prisme. On voit par là que le centre de gravité G du prisme est au miliett de la droite qui joint les centres de gravité G', G*' des deux bases.

Ce théorème peut être étendu à un cylindre homogène quelconque ; car le volume du cylindre est la limite du volume d'un prisme inscrit dans le cylindre, quand on augmente indéfiniment le nombre des côtés de la base, de manière que chacun d'eux tende vers zéro. Les centres de gravité G', G'' des bases du prisme tendent vers les centres de gravité des bases du cylindre, et le centre de gravité du prisme vers celui àa cylindre.

. Ctottlw de ip«^t« d'na tétraèdM.

162. Soit ÂBCD{fig. 124) un tétraèdre homogène. Joignons le sommet A au centre de pjg. ^24.

gravité E de fa face opposée BCD ; divisons la droite AE en un certain nombre de parties égales, et, par les points de division E', E'^ E^\ ..., menons des plans parallèles ftu pian BGD ; ces plans couperont le tétraèdre suivant des triangles FOiy, WOiy', ..., semblables an triangle BCD. Il est évident , à cause de la similitade , qtie les eemires de gravité de ces triangles se^ôt situés en E', E^ , E", . . . , sur la droite AE qui joint le scHfttmet A au centre de gravité E de la base BCD. Par le« points B, C, D' menons des droites parallèles à la

âOS LIVRE m. ÉQUILIBRE ET HOtTEHENT DES SYSTÈMES.

droite AE jusqu'à leur rencoutre avec le pian BCD, de manière à former un premier prisme triangulaire, ayant pour base supérieure B'C'D'. Par les points B", C'\ D" menons de même des droites parallèles à AE jusqu'à leur rencontre avec le plan B'C'D', de manière à former un second prisme triangulaire, et ainsi de suite. Le centre de gravité du premier prismie est au milieu de la droite E'E, qui joint les centres de gravité des deux bases ; celui du second prisme est de même au milieu de la droite E'^E', et ainsi de suite. Il en résulte que le centre de gravité de la somme des prismes est sur la droite AE. Si maintenant on augmente indéfiniment h nombre des divisions de la droite AE, il est clair que la somme des prismes a pour limite le volume du tétraèdre proposé. On en conclut que le centre de gravité du tétraèdre est situé sur la droite AE qui joint le sommet A au centre de gravité de la face opposée.

De même, le centre de gravité du tétraèdre est situé sur la droite BF, qui joint le sommet B au centre de gravité F de la face opposée ACD (fiff. 125) ; il est donc à Tintersection des deux droites AE, BF.

Soit I le milieu du côté CD ; le point E est sur la droite BI, au tiers à partir du point I; de même le point F est sur la droite AI, au tiers à partir du point I ; les deux droites AE, BF, situées dans un même plan AIB, se rencontrent en un point G. Dans le triangle AIB, la droite EF, qui divise les deux côtés lA et IB dans le même rapport, est parallèle au troisième côté AB et en est le tiers;

Fig. 125.

GENTRJBSJ>fi(UUV]XÉ.

l66 deux tiiaogles EGF» ÂGB sont semblables et douDent les r9j)ports égaux