SOS

Centre de gravité d'un leetear.

159. A cause de la symétrie, le centre de gravité d'un secteur homogène OAGB {fig, 120) |est situé sur le dia-

Fig. 120.

mètre OC qui coupe Tare AGB en deux parties égales. Divisons Tare ACB en un certain nombre de parties égales ; par le milieu de chacun des arcs menons une tangente, de manière à former une ligne brisée régulière A'C'B' circonscrite à l'arc ACB. Le secteur polygonal OA'C'B' se compose d'un certain nombre de triangles isocèles égaux, tels que OMN; le rayon OD, qui va du centre au point de contact D, est la médiane de ce triangle; le centre de gravité m, du triangle est situé sur la médiane OD, aux deux tiers à partir du centre. Du point comme centre, avec un rayon OA, égal aux deux tiers du rayon OA, décrivons un arc de cercle A.C^B, compris entre les rayops OA et OB qui limitent le secteur; les rayons OA, OM, ON, OC,... qui divisent l'arc ACB en parties égales, diviseront aussi Tare A^C^B, en un mêipe nombre de parties égales ; le point m,, centre de gravité du triangle OMN, est situé au milieu de la division correspondante. On peut supposer la masse de chacun des triangles concentrée en son centre de gravité ;

204 Liras m. équilibre et mouvement des systèmes.

c'est comme si l'on avait des molécules égales m, m,, m^, m„ m^, aWg, distribuées uniformément sur l'arc A.C^B,. Supposons maintenant que l'on augmente indéfiniment le nombre des divisions de l'arc ACB, le secteur polygonal OA'C'B' aura pour limite le secteur OACB ; les molécules égales, distribuées uniformément sur l'arc A^C^B^» et dont le nombre augmente indéfiniment, formeront une ligne matérielle homogène. On en conclut que le centre de gravité G du secteur OACB coïncide avec celui de l'arc de cercle A^CjB^.

Si Ton appelle r le rayon OA, / la longueur de l'arc ACB, a celle de la corde AB et x la distance OG, le rayon

OA, étant égal à -j» l'arc A,C,B, est égal à —, la corde A,B, à -^, et l'on a, d'après la formule démontrée précé-

&« U», VB 1J.W&V0 «U. *«^AA*««»

demment,

d'où x=^.

On demande, par exemple, le centre de gravité d'un

demi-cercle. On fera a=^^r,l=^Tvr ; d'où x=^.

On obtiendrait le centre de gravité d'un segment, en considérant le segment comme la difTérence entre un secteur et un triangle.