Une pyramide quelconque peut être décomposée
en pyramides triangulaires par des plans diagonaux. Divisons Taréte SA {fig. 126) en quatre parties égales, et par le premier point de division A^, à partir de la base, menons un plan parallèle au plan de la base; ce plan coupera la pyramide suivant un polygone AtB,C,D,E,, semblable au polygone de base ABCDE. Le centre de gravité de la pyramide triangulaire SABË est situé sur la droite qui joint
Fig. 128.
110 UVRE m. ÈQXnUBKê KTMVVmUT DES ST8TÈIIE8.
le sommet S au ceoite de gi'dtilé de la bdèe ABE, et ûii quart à partir de la base ; il coïncide dO&C avec le centre de gravité G, du triangle semblable A,B,E,. De même, les centres de gravité des pyramides triangulaires SBGE, SCDE coïncident avec les centres de gravité G,, G^ des triangles B.C.E,, C,D,E,. Il faut, en ces points G,, G„ G„ appliquer des forces égales aux poids des pyramides triangulaires ; mais ces poids sont proportionnels aui volumes et par suite aux surfaces des bases, puisque la hauteur est la même, ou encore aux surfaces des triangles Â/B(E„ B,C,E,, C,D,E,. On en conclut que le centre de gravité de la pyramide proposée coïncide avec le centre de gravitié€ du polygone A,B.C,D,E,.
Soit G' le centre de gravité du polygone ABCDE. En vertu de la similitude, le centre de gwvité G du polygone A,B,C,D,E, est stir la droite 66'. au quart à partir de la base. On dira donc, d'une manière générale, que le centre de gravité (f une pyramide homogène quelconqtxe est situé sur la droite qui Joint le ^Olnmef on eenitre de gramti de la base, et au quart à partir de la base.
Ce théorème s'étend évidemment à un cAne.
Il est facile maintenant de trouver le centre de gravité d'un solide homogène quelconque. On décoilaposera le solide en pyramides; on déterminera le centre de gravité de chacune d'elles, et on y supposera appliquée une force égale au poids de la pyramide. Il suffirist ensuite de troa-* ver le point d'application de la résultante d'autant de forces parallèles qu'il y a de pyramides.
Centre de gteTité d'un trono de pjTCtnadie.
165. Si Ton coupe une pyramide par un plan parallèle à la base, on obtient un tronc de pyramide {fig. 127).
Mmftfift*
La droite qui joint le sommet S au oentre de gravité G' de la base supérieure, passe par le centre de gravité G'^ de la base supérieure. Le centre de gravité G, de la pyramide totale est situé sur cette droite, ainsi que le centre de gravité G, de la pyramide supériwre ; le poids de la pyi»mide totale étant la résultante du poids de la pyramide supérieure et du poids du tronc de pyramide, le centre de gravité G du tronc devra être situé sur la droite G.Ggi ou G'G^ On voit par là que le centre de gravité G du tronc de pyramide est situé sur la droite G'G'' qui joint les centres de gravité des deux basée p<iraU6)ed«
Pour déterminer dans qtiel rapport le point G divisera droite G'G*, nous appliquerons le théorème des moments des forces parallèles* Appelons S la surface de la base supérieure, S' cetld de lu hase mfériôttre, xeiy leftdiitoDces du centre de gravité G aux deux bases ; nous désigneron», en outre, par H ta hauteur de la pyramide totale, et par H' celle de la pyramide supérieure* Les volumes des deux pyran^dM élut proportiûmidsàH^ et H'^ et leê poids étant proportionnels aux volumes, on peut représenter les poids des deux pyramides par H^ et H''. Prenons les moments par rapport au plan de la base, et écrivons que le moment du poids de la pyramide totale q)pliqué en G« est égal à la somme des nraments dupoidsi du trcme et du ]^s de la pyramide supérieure appliqués en G et Gj^, nous aurons
21 2 UYRE in . ÉQUILIBRE JBT MOUYSHENT DES STBTfellES. -
d'où
(1) 4(IP— H>=H*-4Hfl'»+3H^
Prenons maintenant les moments par rapport au plan de la base supérieure ; les deux points d'application G et G^ sont situes d'un côté de, ce plan, le point G, de l'autre côté ; pour appliquer le théorème, nous regarderons les distances des deux premiers points au plan comme positives, celle du troisième point comme négative, ce qui nous donnera TéquatioD
fffH-H'-9j=(ir-H")y-H''Xp
d'où
(2) 4(IP-H'*)y=:H'*-4H'ff + 3ÏP.
Le second membre de l'équation (1) est divisible une première fois par H — H', et l'on a
H*-4HH''-4-3H'*=(H-ff)(ff+ffff+HH'*-3H'*);
le quotient étant divisible une seconde fois par H— H% il vient
H*-4HH'»+3H'*=(H-HT{ir+aHH'+3H'*)»
Si l'on remarque que le second membre de l'équation (2) se déduit du premier membre de l'équation (1) par la permutation des lettres H et H', on écrira de suite
H'*~4H'ir+3H*= (H'— H)'(fl''+2H'H-h3BP).
Les deux équations (1) et (2) deviennent ainsi
4(H^^H'V= (H- HO* (ff -4- 2HH'+3H'*), • 4(H'-H'»)y==(H-H0'(H'»-H2HH'+3tf),
GfiirrfiËS D£ GUAvrrÉ.
On en déduit (3)
X H'+?HH'-h3H'»
y H'*+aHH-|-3ff'
Les surfaces S et S' des bases étant proportionnelles à H* et à H", et par suite les longueurs H et H' étant proportionnelles à /S et à ^^S^ la formule précédente s'écrira
a:^ S + 3^^SS'+3S'
y S'+a|/SS^+3S*
On déterminera, par exemple, le centre de gravité d'un tronc de cône à base circulaire, à Taide de la formule
r*+2rr'+3r*
V*-4-arr'-f-3r" dans laquelle r et r' désignent les rayons des bases.
Ffg. 128.
Centre de gniTité d'une sone.
166. Considérons la zone engendrée par l'arc AB tournant autour du diamètre OD (fig. 128). La portion CD du diamètre comprise entre les plans des circonférences décrites par les extrémités de Tare AB est la hauteur de la zone. Si par le diamètre OD on mène deux plans quelconques , ces plans étant des plans de symétrie, le centre de gravité de la zone sera . situé dans chacun d'eux, et par conséquent sur le diamètre OD, qui est leur intersection. Il tombe, en outre, entre les points G et D ; car il est évident que, lorsqu'un corps est placé tout entier d'un même côté d'un
214 LIVRE m. ÉQUILimUB ET VOtJTEMENt DES 8T8IÈIIE8.
plan, son centre de gravité est placé aussi de ce cftté du plan ; la zone étant comprise entre les deux plans GA, DB, son centre de gratité sera compris entre les points G et D. Je dis qu'il est au milieu de la droite CD. En effet » divisons la droite CD an un certain nombre de parties égales, et par les points de division E, ES E?,... menons des plans perpendiculaires à CD, ces plans diviseront la zone en un même nombre de parties égales. Le centre de gravité de la zone engendrée par l'arc ÂF est situé sur la droite CE, entre les points G et E ; de même, le centre de gravité de la zone FF' est en un point de la droite EES et ainsi de suite.
Il faut regarder les poids des zones partielles comme des forces égales appliquées, une à chaque division de la droite CD. Il est clair que, si Ton déplace tous les points d'application sur la droite CD, dans un même senfi, on déplacera aussi le point d'application de la résultante dans le même sens. Amenons en G le point d'application qui est entre G et E, en E celui qui est entre E et E', en E' celui qui est entre E' et E^, et enfin en E* celui qui est entre E*' et D; après ce déplacement, le point d'application de la résultante sera en t , au milieu de la droite CE*; il en résulte que le centre de gravité cherché est à droite du point i. Amenons de même en E le point d'application qui est entre G et E, en E' celui qui est entre E et E', en E" celui qui est entre E' et E', et enfin en D celui qui est entre B'' et D ; après ce second déplacement/ le point d'application sera en t\ au milieu de la droite DE; il en résulte que le centre de gravité eÉt à gauche du point i*. Le centre de gravité est donc antre les deux points i et t S qui sont situés de part et d'autre du milieu de ladroiteGD et dont la distance ii' est égale i une division. Si main-^
GfiHlEES DK OBATITÉ. SIS
tçaaat l'on augmente indéfinimeat le nombre des divisionSy l'intervalle ii' se resserrant de plus en plus, on en conclut que le centre de la zone coïncide avec le milieu de sahçmteur CD.
. Par exemple, le centre de gravité de la surface d'un hémisphère est ^u milieu du rayon.
Centre de graTité d*im «eotenr tphérique.
167, Comme dernier exemple, cherchons le centre de gravité du volume engendré par le secteur AOC taurnant autour d'un diamètre OC {fig. 129); il est éyident d abord que le diamètre OC , étant un axe pjg ^^
d^ symétrie, ou Tintersection de ^,
deux plane de symétrie, contient le ^^ l^7^'\. centra de gravité . Du point comme V-rr^t^lrr^-y/^ centre, avec un raypi^ égal aux trois nT j ^» '/^ '
quarts du rayon OA, décrivons une \j/^
sphère; le cône AOB détaphera sur , <>
celte sphère une zone A,C,B,. Décomposons la zone ACB en. un grand nombre de parties équivalentes; les surfaces coniques, ayant pour sommet ie centre de la sphère et pour bases ces portions équivalentes de la zone, diviseront aussi la zone A,C,B. en parties équivalentes, et décomposeront le secteur sphérique en petits volumeséquivalents.
Afin de préciser le raisonnement, nous désignerons par a l'un des éléments de la zone ACB, par <z. I élément correspondant de la zone A^C^B, et par v le petit volume qui a pour base a. Menons un plan tangent çn un point de la petite surface oc, et«ur Je contour de^cetta sui^face prenons XtxÀA points tels, que te pian passant par ces trois points
216 LiYBE in. ÉQUiuna cr wûunamt des STSiiMES.
laisse toute la surface a à rextérieur ; si l'on remplace la surface a par le premier plan» on augmente le vohune 9 et on éloigne son centre de gravité du centre de la sphère; si on la remplace, au contraire, par le second plan, on diminue le volume v et on rapproche son centre de gravité du centre de la sphère ; on a ainsi deux petits cônes à base plane comprenant le volume v,; les centres de gravité de ces deux cônes sont situés très-près de la surface âc^^ l'un à l'extérieur, l'autre à Vintérieur. Et quand on augmente indéfiniment le nombre des divisions de la zone ACB, les centres de gravité des deux cônes tendent vers un même point limite situé sur la zone A,CiB,. En concentrant la masse de chacun des volumes v en son centre de gravité, on a autant de molécules égales distribuées uniformément sur la surface de la zone A,C,B, ; on en conclut que le centre de gravité du secteur sph^rique coïncide avec celui de la zone A|C,B„ et par conséquent est situé au milieu de la hauteur C,D« de la zone.
Théorèmes de Ovl^n.
Fif. 110.
168. Proposons-nous d'évaluer la surface déente pur une ligne plane AB tournant autour d'une droite XI , située dans son plan {fig^ 130). Inscrivons une ligne brisée dans la ligne courbe. Soit BIN l'un des éléments de la ligne brisée ; la droite MN engendre la surface latérale d'un tronc de cône ; cette swêface a pour mesure la circonférenoe engendrée par le milieu I de MN, T multipliée par le côté MN du trône.
La jBiBrface eagendrée par la iigàe brisée a donc pour «ixpresanMi
!»7rS(MNxIK),
le signe S s'étendant à tous les éléments de la ligi^ brisée. Imaginons que la courbe ÂB et la ligne brisée soient des lignes matérielles homogènes, dont le poids de l'unité de longueur est égal à l'unité ; désignons par / et /, les longueurs de ces lignes, et par y et y^ les distances de leurs centres de gravité à Taxe XTC. Le centre de gravité de la droite MN coïncidant avec son milieu I^ le produit MN X IK est le moment de cette droite par rapport à Taxe X'X ; la somme des moments des divers éléments étant égale au moment du poids total de cette ligne appliquée en son centre de gravité , on a
S(MNxIK)=/.y.,
et par suite la surface engendrée par la ligne brisée a pour expression air /.y, ou /, X '^Tty^^ Concevons maintenant que l'on augmente indéfiniment le nombre des côtés de la ligne brisée, de manière que chacun d'eux tende vers zéro, l'expression précédente aura pour limite / X 37ry. Ainsi, la syrface engendrée par une ligne plane tûumant autofur ^tm a±entué dam son plan est égale à la longueur de cette ligne multipliée par la circonférence que décrit son centre de gravité.
Comme application, cherchons la surface du tore engiendré par un cercle de rayon r tournant autour d'un ax^ situé dans son plan, à une distance a du centre du cercle plus grande que le rayon. D'après (e théorème précédent, la surface de ce isolide a pour mesure la circonfé-
f tS LIVRE m. ÉQUIUBRB » MOtJVfinmr DES gTOTÈMES.
Feoce %itr du cercle mobile, multipliée par laciroonférence ara décrite par soq centre, c'est-à-dire 47A»*.
169. Proposons^ous maintenant d'évaluer le volurae engendré par une aire plane tournant autour d'un axe X'X situé dans son plan {/îff. 131). L'aire plane est comprise P«- '3ï- entre deux ordonnées AB et CD
perpendiculaires à Taxe; divisons la (droite BD en un certain nombre de parties égales, et par les points de division menons des ordonnées perpendiculaires. Par v~B pit iTT les points M et N, oii l'une deg ordonnées rencontre le contour de Taire, menons des droites MM', NN', jusqu'à l'ordonnée suivante ; le volume engendré par le rectangle MNN'M', étant égal à la dififérence des cylindres engendrés par les deux rectangles MPP'M', NPP'N', a pour mesure
^(MP-NP')XPPS
ou 7r(MP-NP)(MP+NP)xPP'.
La distance IK du centre de gravité J du rectangte
MNN'M' à Faxe XTC est égale à ^^"^^^ ; la quantité
précédente devient donc
aTtMN.IK.PP', ou 27rMNN'M'xIK,
çt Je volume engendré par la somme de^ rectangles a pour expression
37tS{MM'M'XlK). ;
Appelons S l'aire plane proposée, y la distance de son centre de granté à l'axe. S, la somme des rectangles, y, la distance du centre de gravité de cette somme à Taxe, OB a, d'après le théorème des moments, S,y, = S(MNN'M'XlK),
et le volume engendré par la somme des rectangles a pour mesure ^ttS^^^ ou S, X a^iy,. Si l'on augmente indéfiniment le nombre des divisions de la droite BD, la somme S, des rectangles a pour limite Taire proposée S, et le volume engendré a pour limite S X ^Try. Ainsi, le volume engendré par une aire plane tournant autour dun axe situé dans son plan est égal à taire multipliée par la circonférence que décrit son centre de gravité.
Le volume du tore a pour mesure ttt' X aira ou ii^r^a.
Centre de gravité des masses fluides.
170. Nous avons défini le centre de gravité . d'un corps solide : c'est le point d'application de la résultante des poids des divers points matériels qui composent le corps ; afin de trouver cette résultante, il est nécessaire de supposer les points matériels liés invariablement les uns aux antres, c'est-à-dire le corps solide; le centre de gravite est un point parfaitement déterminé du corps solide et indépendant de la position du corps. Considérons maintenant une masse fluide, liquide ou gazeuse ; concevons la masse solidifiée dans la forme qu'elle occupe à un certain moment et cherchons le centre de gravité du corps solide ainsi obtenu, nous aurons ce qu'on peut appeler le centre de gravité de la masse fluide à ce moment. Si la masse fluide change d&forme^ le centre de gravité se déplace lui*^ même à rintérieur.
220 LIVRE m. ÉQUILIBRE ET MOQVEMBirr DES STfffiaiES.
171. Proposons-nous d'évaluer le travail de ta pesanteur, quand un corps vient d*une positicMi A k une posilion A' {fig. 152). Appelons p le poids d'une molécule Fig. iVL quekonque m, z sa distance à
un plan horizontal fixe MN, P le poids total du corps, et Z la distance de son centre de gravité à ce plan. En appliquant le théorème des moments des forces parallèles, nous aurons
(1) PZ=Sjt>z,
le signe 1 s*étendaut à toutes les molécules du corps. Après le déplacement du corps, la molécule m vient en m'; soit G' le centre de gravité du corps dans sa nouvelle position ; appelons z' la distance du point m' au plan MN, Z' celle du centre de gravité G', nous aurons de même
(2) PZ'=S/)z'.
Si Ton retranche, membre à membre, l'équation (2) de l'équation (1), en étant de chaque produit ;?z le produit;)^' qui correspond à la même molécule, il vient
(3) P(Z-Z')=Sj»(z-z').
La longueur j2—;2' étant l'abaissement de la molécule m, le produit/? (z — z') est le travail du poids de cette molécule; le second membre est la somme des travaux des poids de toutes les molécules; c'est le travail total développé par la pesanteur. On voit donc que, dans le déplacemeni
GBimifiB m GRAVIT^. 221
(Tun corps quelconque, la somme des travaux dus aux poids des différentes molécules qui composent le corps est égale au poids total multiplié par le déplacement vertical du centre de gravité.
Le travail total est positif «ou négatif , suivant que le ceatre de gravité s'abaisse ou s'élève; certaines molécules peuvent s'abaisser, d'autres s'élever; le travail de la pesanteur est positif pour les premières, négatif pour les dernièires. Lorsque le ceutre de gravité reste dans le même plan horizontal, le travail total est nul ; il y a, en quelque sorte,, compensation entre les travaux positifs et les travaux négatifs des diverses molécules.
