DÉFINITION DE LA YIHSSSE

mouvant d'un mouvement rectiligne et unifonne suivant la droite MM', pour éprouver dans le temps Ai le déplacement observé MM'. Cette vitesse moyenne est une grandeur géométrique MÂi, portée sur la droite MM' dans le sens du mouvement. Imaginons que l'intervalle de temps At tende vers zéro, le point M' se rapprochera du point M, et la vitesse moyenne MA, tendra vers une valeur limite MA ; cette limite MA est ce qu'on appelle la vitesse au temps t. La tangente à la courbe étant la direction limite de la sécante, on voit que la vitesse au temps t est une grandeur géométrique MA portée sur la tangente à la trajectoire, dans un sens déterminé.

11. Si Ton prend un point fixe sur la trajectoire, on peut déterminer la position du mobile à chaque instant sur cette courbe par la longueur de l'arc OM. Désignons par $ la longueur de l'arc OM, et par As celui de l'arc MM' décrit pendant le temps Af . La vitesse moyenne pendant le temps àt a pour expression

corde MM' li '

corde MM' , As

ou 7 X x;-

As Ai

Mais on sait que le rapport -r , c'est-à-dire le rapport de la corde MM' à l'arc de courbe MM', a pour limite l'unité quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M. La limite de la vitesse moyenne est donc égale

As à la limite du rapport —. Ainsi, dans le mouvement cur- .' .V ^*

^iKlifflie, la vitesse à chaque instant est égale à la dérivée

iO UVai 1. GlMÉIfATlOl».

de l'arc déorit par le mobile sur la trajectoire, considéré i^omme um fonction du tempa.

Supposons » par exemple , que le mobile décrive un cercle en parcourant des arcs égaux en temps égaux. On a, dans ce cas, s:sn:at et par suite vmtia; la vitesse a une valeur numérique constante, mais, sa direction change sans cesse. Une grandeur géométrique est une longueur portée dans une certaine direction; dans le mouvement circulaire uniforme, la vitesse, quoique ayant une longueur constante, doit être regardée comme une grandeur géométrique variable, à cause du changement de sa di^ rection.

Frojeetton d« monTement inr nne droite.

12, Supposons d'abord qu'un point mobile M décrive une droite CD d'un mouvement uniforme (fig. 5). Pro- F'8- 5. jetons ce mobile sur une droite

quelconque X'X; si Ton mène par le point M un plan parallèle à un plan donné , le point P où ce plan coupe la droite X'X est la projection du point M. Tandis que le point M décrit la droite CD, le point P décrit la droite XOC ; des longueurs égales prises sur la droite CD ayant pour projections des longueurs égales, il est clair que le mouvemenl; du point P sera uniforme comme celui du point M; la vitesse MA du point M, ou l'espace parcouru par ce point dans l'unité de temps, aura donc pour projection la vitesse PB du point P, ou l'espace parcouru par le aeeond mobile dans Tuiûté de temps.

DÉPiamOM DB U tlTESSE.

iS. Supposons maintenant que le point M déorive une trajectoins quelconque {fig. 6). La projeotidn P se mouvra sur la droite X'X d'un ïtg. e.

mouvement varié. Soient M et M' les positions du mobile aux temps t et 1+ A^ P et P' ses projections; le déplacement PF du second mobile est la pro* jectiou du déplacement MM'du

MM'

premier mobile. La vitesse moyenne -j— an prçmii^ mobile est figurée par une longueur JIA, portée sur la droite MM'. Soit PB, la projection de MA,; à cause des plans parallèles, on a les rapports égaux

puisque et par suite on en déduit d'où