II
d’où l’on déduit
MN X II — 01 XMF=0I X M'N', en remarquant que la longueur MF est égale à la longueur
202 LIVRE m. ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES.
M'N', projection du côté MN sur le diamètre DE. Si l’on remplace le produit MNxü' par le produit égal Olx M'N', l’équation (1) devient
Le facteur 01, rayon du cercle inscrit dans la ligne brisée régulière, étant commun à tous les termes , le second membre est égal au produit de ce facteur par la somme A' B' des projections des différents côtés de la ligne brisée sur le diamètre DE; mais la projection A'B' de la ligne brisée est égale à la corde AB qui sous-tend l’are ACB, corde dont nous désignerons la longueur par a. On a ainsi
Supposons maintenant que le nombre des côtés de la ligne brisée augmente indéfiniment; la ligne brisée a pour limite l’arc ACB; le rayon 01 du cercle inscrit dans la ligne brisée tend vers le rayou ;• du cercle proposé ; on en conclut
(4) lx = rX a,
Ainsi, le centre de granité (F un arc de cercle est situé sur le rayon qui divise t arc en deux parties égales et sa distance „ au centre est au rayon comme la corde qui sous-tend Fan est à la, longueur de t arc.
Cherchons, par exemple, le centre de gravité de la demi-circonférence DCE; on a ici a^-xr, l=nr, d'où
CENTRES DE GRAVITÉ
Centre de gravité d'an «ectour.
159. A cause de la symétrie, le centre de gravité d’un secteur homogène OACB {firj. 120) (est situé sur le dia-
Fig, 130.
mètre OC qui coupe l’arc ACB en deux parties égales. Divisons l’arc ACB en un certain nombre de parties égales ; par le milieu de chacun des arcs menons une tangente, de manière à former une ligne brisée régulière A'C'B' circonscrite à l’arc ACB. Le secteur polygonal OA'C'B' se compose d’un certain nombre de triangles isocèles égaux, tels que OMN; le rayon OD, qui va du centre au point de contact D, est la médiane de ce triangle; le centre de gravité ?/«, du triangle est situé sur la médiane OD, aux deux tiers à partir du centre. Du point 0 comme centre, avec un rayon OA, égal aux deux tiers du rayon OA, décrivons un arc de cercle A.^B, compris entre les rayons OA et OB qui limitent le secteur; les rayons OA, OM, ON, OC,... qui divisent l’arc ACB en parties égales, diviseront aussi l'arc A,C,B, en un môme nombre de parties égales ; le point m t , centre de gravité du triangle OMN, est situé au milieu de la division correspondante. On peut supposer la masse de chacun des triangles concentrée en son centre de gravité ;
204 LIVRE Ol. ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES.
c’est comme si l’on avait des molécules égales m, m t , m t , wi 3 , m t , in t , distribuées uniformément sur l’arc A,C ( B,. Supposons maintenant que l'on augmente indéfiniment le nombre des divisions de l’arc ACB, le secteur polygonal OA 'CB’ aura pour limite le secteur OACB ; les molécules égales, distribuées uniformément sur l’arc A^.B,, et dont le nombre augmente indéfiniment, formeront une ligne matérielle homogène. On en conclut que le centre de gravité G du secteur OACB coïncide avec celui de l’arc de cercle A t C,B,.
Si l’on appelle r le rayon OA, / la longueur de l’arc ACB, « celle de la corde AB et x la distance OG, le rayon
1T il
OA, étant égal à y, l’arc A.C.B, est égal à -, la corde
