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A,B, à et l’on a, d’après la formule démontrée précédemmenl,

d’où

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On demande, par exemple, le centre de gravité d’un

demi-cercle. On fera a = a r, /=irr; d’où x-~-.

On obtiendrait le centre de gravité d’un segment, en considérant le segment comme la différence entre un secteur et un triangle.

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CENTRES DE GRAVITÉ

Centre de gravité d'un prisme triangulaire.

160. 11 est évident que le centre de gravité d’un parallélipipède homogène coïncide avec le centre du parailélipipède.

Soit un prisme triangulaire homogène ABCA'B'C' (/ îy . 121 ). Menons la médiane AD du triangle ABC; divisons-la en un cer- ng.m.

tain nombre de parties égales; par les points de division, menons des plans parallèles à la face latérale BCC'B' du prisme, et, par les points où ces plans rencontrent les arêtes AB, AC, conduisons des plans parallèles au plan DAA', nous inscrirons ainsi dans le prisme triangulaire un certain nombre de parallélipipèdes.

Le centre de chacun de ces parallélipipèdes est situé dans le plan DAA', et aussi dans le plan A.B.C, qui divise les arêtes latérales du prisme en deux parties égales; il est situé par conséquent sur lamédiane A,D t du triangle A^C,. Le centre de gravité de la somme des parallélipipèdes est donc situé sur la médiane A,D,. Si l’on augmente indéfiniment le nombre des divisions de la médiane AD, la somme des paralléli- Fig. m.

pipèdes a pour limites le prisme triangulaire ; on en conclut que le centre de gravité du prisme trian-j gulaire est situé sur

la médiane A,D,. Etant situé de même sur chacune des autres médianes, il coïncide avec le centre de gravité du triangle A,B,C, {/if/. 1 22) . On peut dire aussi que le centre de gravité du prisme est au milieu de la droite G'G’ qui joint les centres de gravité des bases parallèles du prisme.

Centre de gravité d’un prisme quelconque.

161. Considérons maintenant un prisme quelconque homogène (fiy. 123). A l’aide de plans diamétraux, on le divisera eu un certain nombre de prismes triangulaires. Par le point A,, milieu d'une arête latérale AA', menons un plan parallèle aux plans des bases; ce plan coupera le prisme suivant un polygone A ,0,0,0,, égal aux bases du prisme. D’après ce que nous venons de dire, loa centres de gravité des prismes triangulaires ABEA'B E'. BCEB'C E', CDEC'D'E' coïncident avec les centres de gravité G,, G,, G s des triangles A, B, E,, B,C,E,, C,D,E,. 11 faut en ces points appliquer des forces égales aux poids des prismes triangulaires; mais ces poids sont proportionnels aux volumes, et par suite aux surfaces des bases A,B,E,, B,C,E, , C,D,E, , puisque la hau teur est la même. Aux centres de gravité G,, G„ G, des triangles sont donc appliquées des forces proportionnelles aux aires de ces triangles ; ou en conclut que le centre de gravité du prisme coïncide avec le centre de gravité G du polygone A,B,C,D,.

Il est évident que les centres de gravité des sections pa-

CENTRES DE GRAVITÉ

rallèles sont si Lues sur une même droite parai fêle aux arêtes latérales du prisme. On voit par là que le centre de. gravité G du prisme est au milieu de la droite qui joint les centres de gmvité G', G" des deux bases.

Ce théorème peut être étendu à un cylindre homogène quelconque ; car le volume du cylindre est la limite du volume d'un prisme inscrit dans le cylindre, quand on augmente indéfiniment le nombre des côtés de la base, de manière que chacun d’eux tende vers zéro. Les centres de gravité G’, G" des bases du prisme tendent vers les centres de gravité des bases du cylindre, et le centre de gravité du prisme vers celui du cylindre.

Centre de gravité d’un tétraèdre.

162. Soit AJBCL) (fig. 124) un tétraèdre homogène. Joignons le sommet À au centre de gravité E de la face opposée BCD ; divisons la droite AE en un certain nombre de parties égales, et, par les points de division E', E",

E"', ..., menons des plans parallèles au plan BCD; ces plans couperont le tétraèdre suivant des triangles B'C’D’, BVD*, ...,semblublesau triangle BCD. Il est évident, à cause de la similitude, que les centres de gravité de ces triangles sont situés en E’, E^.E"', ..., sur la droite AE qui joint le sommet A au centre de gravité E de la base BCD. Par les points B', C', D' menons des droites parallèles à la •

208 LIVRE ni. ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES.

' droite AE jusqu’à leur rencontre avec le plan BCD, de manière à former un premier prisme triangulaire, ayant pour base supérieure B'C'D'. Par les points B", C", D" menons de même des droites parallèles à AE jusqu’à leur rencontre avec le plan B'C'D’, de manière à former un second prisme triangulaire, et ainsi de suite. Le centre de gravité du premier prisme est au milieu de la droite E'E, qui joint les centres de gravité des deux bases ; celui du second prisme est de même au milieu de la droite E'E', et ainsi de suite. Il en résulte que le centre de gravité de la somme des prismes est sur la droite AE. Si maintenant on augmente indéfiniment le nombre des divisions de la droite AE, il est clair que la somme des prismes a pour limite le volume du tétraèdre proposé. On en conclut que ’ le centre de gravité du tétraèdre est situé sur la droite AE qui joint le sommet A au centre de gravité de la face opposée. •:

Qp même, le centre de gravité du tétraèdre est situé sur la droite BF, qui joint le sommet B au centre de gravité F de la face opposée ACD [fig. 125); il est donc à l’inter- Fi*. us. section des deux droites AE, BF.

A Soit I le milieu du côté CD ; le

è point E est sur la droite BI, au tiers à partir du point 1; de même le point F est sur la droite Ai, au tiers à partir du point I ; les deux droites AE, BF, situées dans un même d plan A1B, se rencontrent en un point G. Dans le triangle AIB, la droite EF, qui divise les deux cô- ' tés IA et IB dans le même rapport, est parallèle au troisième côté AB et en est le tiers ;

CENTRES DE GRAVITÉ. 209

les deux triangles EGF, AGB sont semblables et donnent les rapports égaux