On peut expliquer de la même manière le recul

des canons, et, en général, des armes à feu. Alin de simplifier le raisonnement, supposons le canon placé sur un plan de glace parfaitement poli. Soit M le poids du canon et de son affût, m celui du boulet, la fi*, im.

masse totale est M + m ; le centre de m g m gravité G de tout le système est immobile. Quand on enflamme la poudre, le boulet est lancé vers la droite avec une vitesse horizontale v; le centre de gravité G de tout le système devant continuer à rester immobile, il faut que le canon et son affût parcourent en sens inverse une longueur proportionnelle. Si x est le chemin G m décrit par le boulet pendant un certain temps, x' le chemin GM décrit en sens inverse par le centre de gravité du canon et de son affût, on doit avoir

mx — M x' = o; d’où x' = ~x. De même, si v' est la

vitesse du canon après l’explosion, on aura mv — Mt>'=o, d’où = La vitesse de recul du canon est très-petite par rapport à la vitesse du boulet, parce que la masse du canon est très-grande par rapport à celle du boulet.

217. Quand un homme marche sur uu plan horizontal, le sol exerce sur la plante des pieds une réaction normale N, et, en outre, un frottement horizontal F dans le sens de la marche; c’est cette force horizontale F qui, transportée au centre de gravité, produit le mouvement de

translation horizontal. Si l’homme était placé sur un plan de glace parfaitement poli, la force horizontale de frottement F étant nulle, et le centre de gravité n’étant plus sollicité que par les deux forces verticales P et N de sens contraires, il pourrait bien abaisser ou élever son centre de gravité, mais il lui serait impossible de le déplacer horizontalement; s’il avançait une partie de son corps d’un côté, une autre partie reculerait de l’autre côté, de manière que le centre de gravité restât toujours sur la même verticale.

Théorème des moments des quantités de mouvement.

218. Reprenons les équations (1) qui déterminent le mouvement d'un point quelconque du système,

I jmD, 1 x= 2 F cos a, mD,’y = 2 F cos b,

= 2 F cos c.

Si l’on multiplie la première par y , la seconde para:, et qu’on retranche la première de la seconde, on a l’équation

m (xD ( ! y — yD,’x) =£ F (x cos b — y cos a),

ii.» mJ i Ai» i / , *i. I ,’i y •y ^ MAjn

que l’on peut écrire sous la forme

D, [m(xD,y — yD,x)] = S F (x cos b — y cos n ) .

En ajoutant les équations de cette sorte, qui se rapportent aux différents points du système, on obtient l'équation

D, [I »i(xD,y — yD,x) ] = V p ( x cos b — y cos a) .

En combinant de la même manière la seconde des équa-

rnOPRIÉÎÉS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 2l}9

uods (1) avec la troisième, la troisième avec la première, et ajoutant, on obtient les trois équations

1 D, [S m (xD,y — yDfZj] F [x cos b — y cos a), .

D,[Sm(yD,z — z D,y)j — ^ F (y cos c— z cos b),

D, [Sm(zD^r — xD,z)] F (z e°3 a — a: cos c).

Lesigne ^,dans le second membre, s’étend à toutes les

forces qui agissent sur les différents points du système.

La quantité F (x cos b — y cos a) représente le moment, par rapport à l’axe oz, de la force F appliquée à la molécule m, dont lescoordonnées sontar, y, z (n° 192). Il est clair que les moments par rapport à une même droite de deux , forces égales et opposées sont égaux et de signes contraires ; les forces intérieures, qui sont deux à deux égales et opposées, disparaissent donedes seconds membresdes équations précédentes. De même, la quantité m(xü,y — yD,r) représente le moment, par rapport à l'axe oz, de la quantité de mouvement de la molécule m. Ainsi ;

THÉORÈME Ili.

La dérivée de la somme des moments, par rapport d un axe quelconque, des quantités de mouvement des differents points du système est égale à la somme des nwments des forces extérieures, par rapport au même axe.

219. Il résulte des théorèmes I et 1)1 que les actions des points du système les unes sur les autres ne peuvent modiüer, ni la somme des projections des quantités de mouvement sur un axe quelconque, ni la somme des moments de ces quantités de mouvement par rapport au même axe. Lorsque les points du système ne sont sol

licites par aucune force extérieure, les seconds membres des équations (9) sont nuis ; les sommes des moments des quantités de mouvement, ayant leurs dérivées nulles, sont constantes, et l'on a les trois équations

1 1m — ÿD^r)= L,

S m (z D^r — xD,;) = K ,

dans lesquelles les lettres 1, K, L désignent trois quantités constantes. Ainsi,

Corollaire 1. Lorsque les points du système ne sont soumis yu’à leurs actions mutuelles, la somme des moments des quantités de mouvement, par rapport à un axe quelconque, est constante * .

220. Pour montrer une application de ces principes, considérons un corps solide tournant autour d’un axe fixe avec la vitesse angulaire &>. La vitesse de chaque molécule est égale à «r, r désignant la perpendiculaire abaissée de la molécule sur l’axe; elle est perpendiculaire à l’axe et à une distance r de l’axe; le moment de la quantité demouveinentde celte molécule, par rapporta l’axe de rotation, est égale au produit de cette quantité de mouvement mur par sa distance r à l’axe, ce qui donne mur*. Si I on lait la somme des moments des quantités de mouvement de toutes les molécules du corps solide, comme la vitesse angulaire u est facteur constant dans tous les termes, on aura l’expression w x%mr*. La quantité Imr*, c’est-à-dire la somme des produits que l’on obtient en multipliant la masse de chaque molécule par le carré de sa distance à l’axe, s’appelle moment d’inertie du corps solide par rapport à l'axe. Ainsi, quand un corps solide tourne 1 Colle propriété esl aussi connue sous le nom «le lliéorème des aires .

autour d’un axe fixe, la somme des moments des quantités de mouvement, par rapport à cet axe, est égale à la vitesse angulaire de rotation, multipliée parle moment d'inertie du corps solide relatif à l’axe de rotation.

Supposons qu’aucune force extérieure n’agisse sur le corps solide, ou, s’il y a des forces extérieures, que ces forces se fassent équilibre autour de l’axe, c’est-à-dire que la somme de leurs moments par rapport à l'axe soit nulle (n° 191). Les réactions que les différents points de l'axe fixe exercent sur le corps étant des forces appliquées à l’axe et ayant par conséquent leurs moments nuis, il résulte du théorème précédent que la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à Taxe est constante. Cette somme ayant pour expression « x ïiw‘, et le moment d’inertie ïhw* du corps solide étant invariable, on en conclut que la vitesse angulaire de rotation u reste constante. Ainsi ,

Corollaire II. Quand un corps solide tourne autour (T un axe fixe , si les forces extérieures se font érptilibre, le mouvement de rotation est uniforme.

Si, par suite d'actions intérieures, le corps solide se contractait, chaque molécule se rapprochant de l’axe, le 'moment d’inertie diminuerait; la somme des moments des quantités de mouvement wX ïmr* devant rester constante, la vitesse angulaire u augmenterait. C’est ce qui arriverait, par exemple, si, par le refroidissement, le volume de la terre diminuait; sa vitesse de rotation autour de l’axe augmenterait et par conséquent la durée du jour, ou le temps qu’elle met à faire un tour entier, diminuerait.

Ces propriétés s’appliquent aux êtres vivants, ainsi que uous l'avons déjà fait remarquer, à propos du mouvement

du centre de gravité (n° 214). Un être vivant, en repos et isolé dans l’espace, ne peut, par ses actions intérieures, imprimer à tout son corps un mouvement de rotation autour d’une droite ; s'il fait tourner une partie de son corps autour d un axe dans un sens, il faudra qu’une autre partie tourne en même temps en sens inverse, aün que la somme des moments des quantités de mouvement reste nulle.

Théorème des puissances vives.

221. En étudiant le mouvement d’un point matériel (n° 150), nous avons démontré que la variation de la puissance vive d'un point matériel, pendant un temps quelconque, est égale à la somme des travaux des forces qui agissent sur ce point pendant le même temps ; on a ainsi, pour chaque point d’un système,

mv*

2 TF,

le signe 2 s’étendant à toutes les lorces qui agissent sur ce point. Si l’on ajoute membre à membre les équations qui se rapportent aux différents points du système, on a l’équation

mv*

=2 TF,

le signe , dans le second membre, s’étendant à toutes

les forces, tant intérieures qu’extérieures, qui agissent sur les différents points du système. On en conclut :

THÉORÈME IV

La variation de la somme des puissances vives de tous les points if un système matériel pendant un temps quelconque.

est égale à la somme des travaux de toutes les forces, tant intérieures qu’extérieures, qui agissent sur les différents points pendant le même temps.

1 222. I! est un cas où le travail des Forces intérieures est nul, c’est lorsque les points du système restent h des distances invariables les unes des autres, c’est-à-dire Forment un système solide. Dans ce cas, les Forces intérieures étant deux à deux appliquées aux extrémités d’une droite de longueur invariable, et d’ailleurs étant égales et opposées, ont des travaux élémentaires égaux et de signes contraires (n° 197). On en conclut :

Corollaire. Dans le mouvement d’un corps solide, la variation de la somme des puissances vives de tous les points du corps, pendant un certain temps, est égale à la somme des travaux des forces extérieures qui agissent sur te corps pendant le même temps.

» Le théorème général des puissances vives a une grande importance : c’est sur cette loi que repose la mécanique industrielle; elle permet aussi d’établir une corrélation entre les diverses branches de la physique qui étaient restées séparées jusqu'à ce jour. Mais pour que ce théorème ait toute sa généralité, il Faut avoir soin, dans l’évaluation du travail , de tenir compte du travail des Forces intérieures. Si deux molécules se repoussent et que leur distance diminue, il en résulte un travail négatif qui diminue lesecoud membre de l'équation (11), et par conséquent diminue la somme des puissances vives ; si, au contraire, les molécules s’éloignent, la force répulsive produit un travail positif qui augmente la somme des puissances vives: c’est comme un ressort que l'ou comprime ou qui se

274 LIVRE m. ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES.

détend. De même, dans l’évaluation des puissances vives, il faut avoir égard, non-seulement aux mouvements visibles des molécules, mais encore à leurs mouvements vibratoires extrêmement petits; à ces mouvements vibratoires cor- * rcspond une certaine quantité de puissance vive, (jui diminue d’autant la somme des puissances vives dues aux grands mouvements.