CHAPITRE IV

209. On sc représente les corps comme composés de molécules ou de points matériels agissant les uns sur les autres ; l’action qui s’exerce entre deux molécules consiste en deux forces égales et opposées, appliquées, l’une à la première molécule, l’autre à la seconde molécule; c’est une loi générale de la nature que l’on énonce souvent en disant que l’action est égale à la réaction. Lorsque cette double force tend à rapprocher les molécules, on dit qu’il y a attraction ; lorsqu’elle tend, au contraire, à les éloigner, on dit qu’il y a répulsion. Outre ces forces intérieures qui s’exercent entre les diverses molécules composant le système considéré, des forces extérieures peuvent encore être appliquées à différents points de ce système. Une force extérieure appliquée à un point du système provient des actions qui s’exercent entre cette molécule et celles d’un autre système,placé à une certaine distance du premier.

Noug appellerons m la masse d’un point matériel quelconque du système, x, y, z ses coordonnées par rapport à trois axes rectangulaires fixes. Il est clair que le mouvement de chaque point matériel est produit par l’ensemble des forces, tant extérieures qu'intérieures, qui agissent sur ce point; si donc on désigne par F l’une quelconque de ces

Fig. 161.

forces, et par a, b, c les angles qu'elle fait avec les aies, on a les trois équations (n° 102)

I wD ( *x=ïFcosn, mD,*!/ = ï F cos b ,

»iD,*s = S F cos c ,

le signe S s’étendant à toutes les forces qui agissent sur le point considéré. On aura trois équations de même forme pour chacun des points matériels du système proposé.

On peut faire entre ces équations diverses combinaisons qui fassent disparaître les forces intérieures.

Mouvement du centre de gravité.

210. Si l’on ajoute membre à membre les équations de la forme

;nD, , x=ïF cos a,

quiserapporleutau mouvement de la projection de chaque point sur l'axe ox; si l’on ajoute de même celles qui se rapportent à l’aie oy, puis celles qui se rapportent à l'axe oz, on obtient les trois équations suivantes :

1 S mD, i x= F cos g,

£»iD,*y= ^ F cos b,

2 niD, s j = Vf cos c.

Le signe S dans le premier membre s’étend à toutes les molécules du système; le signe dans le second membre, à toutes les forces qui agissent sur les diverses molécules. Les actions mutuelles que les molécules du système exercent les unes sur les autres étant des forces deux à deux égales et opposées, leurs projections sont égales et de signes

contraires, et, par conséquent, se détruisent dans les seconds membres des équations (2). Ainsi, les trois équations (2) sont indépendantes des forces intérieures ; elles ne dépendent que des forces extérieures. Ces forces extérieures, comme nous l’avons dit, proviennent des actions qui s’exercent entre certaines molécules du système proposé et les molécules des corps extérieurs.

211. On peut énoncer ces équations de plusieurs manières. On appelle quantité de mouvement d’un point matériel le produit de la vitesse v par la masse m de ce point. Il convient de considérer ce produit mv comme une nouvelle quantité géométrique portée sur la tangente à la trajectoire, dans le même sens que la vitesse. Cette quantité de mouvement a pour projection sur les trois axes des coordonnées, (2) mD,x, mD]y, mU,z.

Les équations (2) peuvent s’écrire sous la forme

I I),(ïmD,^:) = V F cos a,

D,(ï mD,y) = V F cos b,

D ( (S mD,z) — ^ F cos c.

Elles signifient que

THÉORÈME I

La dérivée de la somme des projections sur un axe quelconque des quantités de mouvement des différents points du système est égale à la somme des projections des forces extérieures sur ce même axe.

212. Lorsque les points du système ne sont sollicités par aucune force extérieure, et, par conséquent, ne sont soumis qu’à leurs actions mutuelles, les seconds membres

des équations (5) sont nuis; les sommes des projections des quantités de mouvement, ayant leurs dérivées nulles, sont constantes, et l’on a les trois équations

dans lesquelles les lettres A, B, C désignent des quantités constantes. Ainsi,

Corollaire. Lorsque les p oints du système ne sont soumis qu’à leurs actions mutuelles, la somme des projections des quantités de mouvement sur un axe quelconque est constante.

215. Le théorème précédent acquiert une signification très-simple à l’aide du centre de gravité. Si l’on considère le centre de gravité du système dans la position qu’il occupe à chaque instant, ou obtient un point géométrique G, qui ne coïncide pas avec un point physique déterminé du système, à cause de la déformation de ce système, mais qui occupe successivement diverses positions dans l’espace. On conçoit très-nettement le mouvement de ce point G; nous lui supposerons une masse M égale à la somme des masses des différents points du système, et nous appellerons X, Y, Z ses coordonnées.

En appliquant aux masses des diverses molécules du système ie théorème des moments des forces parallèles pi\r rapporta chacun des plans des coordonnées (n° 147), on a les trois équations

ïmD f r=A, E mü,y = B ,

SmD,z=G,

qui déterminent les coordonnées du centre de gravité. Si l’on prend les dérivées par rapport au temps, on en déduit les équations

i MD,X=SwD P r /

(6) ' ] MD,Y=ïmD l y,

f MD,Z=2mDfZ,

qui donnent à chaque instant la vitesse du centre de gravité, en grandeur et en direction. En prenant une seconde fois les dérivées, on obtient de nouvelles équations

i MD,’X = S mü?x,

(7) MD,*Y=SmD,V, f MD,*Z = S/nD,%

qui donnent l’accélération du centre de gravité.

En vertu des équations (7), les équations (2) se mettent sous la forme

MP,*X— V F cos«, MD 1 3 Y=2fcosé,

md ( i z = 2 Fcosc -

Ces équations déterminent le mouvement d’un point matériel de masse M, placé au centre de gravité du système. D’après la remarque faite précédemment, les seconds membres sont indépendants des forces intérieures ; on en déduit :

THÉORÈME U

Le mouvement du centre de gravité <t un système est le même que si toute la misse y était concentrée, et que si toutes les forces extérieures y étaient transportées parallèlement à elles-mêmes.

266 LH RE m. ÉQUILIBRE fft MOUVEMENT DES SYSTÈMES.

214. 11 résulte de là que les actions des points du système les unes sur les autres n’ont pas d'influence sur le mouvement du centre de gravité. Lorsque les points du système ne sont soumis qu’à leurs actions mutuelles, le mouvementdu centre de gravité ost rectiligne et uniforme; si la vitesse initiale est nulle, il reste en repos.

Cette loi s’étend aux êtres vivants. La volonté fait naître des actions mutuelles entre les diverses parties de l organisme, elle met en jeu les forces musculaires ; mais ces forces, comme toutes les forces de la nature, sont deux à deux égales et opposées, et par conséquent n’ont pas d’influence sur le mouvement du centre de gravité. Aussi, n’est-ce qu’en réagissant sur les corps extérieurs qu’un être vivant peut modifier le mouvement de son centre de gravité.

215. Dans le chapitre u du livre II, nous avons étudié le mouvement d’un point matériel soumis à l'action de la pesanteur, et nous avons vu que, si l’on néglige la résistance de l’air, le point décrit une parabole. Tout ce que nous avons dit à cet égard s’applique au mouvement du * centre de gravité d’un corps soumis à l’action de la pesanteur ; car les forces qui sollicitent les molécules, c’est-àdire les poids des molécules, transportées parallèlement à elles-mêmes au centre de gravité, donnent le poids total P du corps. Ainsi, le mouvement du centre de gravité est le même que celui d'un point matériel de masse M sollicité par une force verticale P égale à My. Considérons, par exemple, le mouvement d’une bombe lancée avec une . certaine vitesse initiale : le centre de gravité décrit une parabole; si, à un certain instant, la bombe éclate, les forces intérieures qui produisent l’explosion n ayant pas d'influence sur le mouvement du centre de gravité, ce

point géométrique continuera son mouvement parabolique, comme si rien n était survenu, tandis que les fragments iront de différents côtés.