MM" MM' M'M
Al Al + Al ’
ce qui montre que la vitesse moyenne du mouvement résultant est la somme des vitesses moyennes des deux mouvements proposés. Si l’on fait décroître l’intervalle de temps Al jusqu’à zéro, les vitesses moyennes ayant pour limites les vitesses au temps t, on en conclut que la vitesse du mouvement résultant est égale, à chaque instant, à la somme des vitesses des deux mouvements proposés au même instant.
COMPOSITION DES VITESSES
Quand les deux mouvements sont de sens contraires, on démontre de la même manière que la vitesse du mouvement résultant est la différence des vitesses des deux premiers mouvements. En attribuant des signes aux vitesses, comme nous l’avons expliqué, on peut dire que la vitesse du mouvement résultant est égale, à chaque instant, à la somme algébrique des vitesses des mouvements proposés.
Cette loi peut être étendueà la composition d’un nombre quelconque de mouvements rectilignes s'effectuant suivant la même droite, dans un sens ou dans l'autre. Si l’ou regarde comme positives les vitesses dirigées dans un sens, comme négatives celles qui sont dirigées en sens contraire, on dira que la vitesse du mouvement résultant est égale, à chaque instant, à la somme algébrique des vitesses des mouvements proposés.
Covnponilion de deux mouTements reotilignea et uniformes dans deux directions quelconques.
21. Après avoir composé les mouvements rectilignes s'effectuant suivant la même droite, occupons-nous de la composition de mouvements quelconques, et d’abord considérons deux mouvements rectilignes et uniformes dans des directions différentes. Voici comment on peut se représenter ces deux mouvements simultanés : Imaginous qu'un mobile se meuve uniformément sur la droite OX (jiy. 14) avec la vitesse v, tandis que la droite OX se déplace parallèlement à elle-même, de manière que son point O se meuve uniformément sur la droite OY avec la vitesse r'; le mouvement de la droite OX est un mouvement de translation rectiligne et uniforme. Soit OX la position de la droite mobile au temps t=0, c’est-à-dire à
2 2 LIVRE I, CINÉMATIQUE
l'instant à partir duijuel ou compte le temps, et supposons qu’à ce moment le mobile soit au T point 0. Après t secondes, le mobile aura parcouru sur la droite OX une longueur Ol v égale à vl ; pendant ce temps la droite OX se déplace parallèlement à elle-même; son point 0 décrit sur OY la longueur OQ égale à v'I et la droite occupe la position QX ( ; le point P de cette droite, où se trouve alors le mobile, vient en M, après avoir éprouvé un déplacement PM égal et parallèle à OQ. Ainsi, par la composition des deux mouvements, le mobile, au temps t, se trouve en M.
On déterminera de cette manière la position du mobile à un moment quelconque! Après t' secondes, le mobile a parcouru sur la droite OX la longueur OP' égale à vt'; pendant ce temps le point 0 de cette droite décrit sur OY la longueur OQ' égale à v'l\ et la droite se transporte en Q'X', ; le point P' de cette droite, où se trouve alors le mobile, vient en M', après avoir éprouvé un déplacement P'M' égal et parallèle à OQ'. Ainsi, au temps t', le mobile est en M'.
Nous avons, d’une part,
0P = «(, OQ — FM = e'<;
d’autre part,
OP'=vt', OQ'=P'M'=»r.
On en déduit les rapports égaux
OP PM l OP'
COMPOSITION DES VITESSES
Menons les droites OM et OM'; le triangle OP'M' est semblable au triangle OPM, comme ayant l’angle P' égal à l’angle P et compris entre deux côtés proportionnels; l’angle P'OM' est donc égal à l’angle POM et la droite OM ' coïncide avec OM. On ert conclut que les position? successives M, M', du mobile appartiennent à une même droite OM ; ainsi, le mouvement résultant est rectiligne.
Les mêmes triangles semblables donnent
OM OP t
OM' OP t'‘
Les longueurs OM, OM', parcourues par le mobile dans les temps t et l' . étant proportionnelles aux temps, on en conclut que le mouvement résultant est uniforme.
Cherchons enlin la vitesse V du mouvement résultant. Si l’on suppose que le temps t soit égal à l’unité de temps, c’est-à-dire à une seconde, les longueurs OPetOQ représenteront les vitesses v et v' des deux mouvements proposés; la droite OM est la longueur parcourue par le mobile dans le mouvement résultant, c’est-à-dire la vitesse V de ce mouvement résultant. Ainsi, le mouvement résultant de deux mouvements rectilignes et uniformes est un mouvement rectiligne et uniforme, et la vitesse de ce mouvement résultant est représentée en grandeur et en direction par la diagonale OM du parallélogramme construit sur les vitesses OP et OQ de» demi mouvements proposés.
22. Revenons à l’exemple du bateau : supposons que le bateau s’avance sur le fleuve d’un mouvement rectiligne et uniforme avec la vitesse OA. tandis que le courant l’entraîne avec la vitesse OB (fiy. 15); le mouvement résultait s’accomplira pendant la diagonale OC et avec
24 livre; i. cixémaiiqiiis.
la vitesse OC; le bateau, parti du point O de l’une îles rives du llcuve, atteindra l’autre rive en D. Les personnes qui sont placées dans le bateau croient que le bateau marche dans la direction OA; mais un observateur placé sur la rive voit le bateau s’avancer dans la direction OC- L’axe du bateau, qui est dirigé suivant OA, se transporte parallèlement à lui-même.
On peut se demander quelle direction il faut donner au bateau pour traverser le fleuve dans une direction donnée, par exemple à angle droit suivant la droite OD {fig. 16). Supposons le problème résolu et soit OA la F,g. u. direction du bateau ; il faut que
la résultante OC de la vitesse OA du bateau et de la vitesse OB du courant soit dirigée suivant OD.
Pour trouver la direction OA, du point B comme centre, avec un rayon égal à la vitesse du bateau, on décrira un arc de cercle qui coupera la droite OD en un point C; il faudra donner à l’axe du bateau la direction OA parallèle à BC.
Quelquefois le problème admet deux solutions. Suppo- Fig „ sons qu’on veuille traverser le
fleuve dans la direction oblique OD ( fig. 17). Si l'arc de cercle, décrit du point B comme centre, avec un rayon égal à la vitesse o du bateau, coupe la droite OD en deux points C et C’, on pourra traverser le fleuve suivant la droite OD, en orientant le bateau, soit dans la direction OA, soit dans la direction OA'. Mai?, dans
COMPOSITION DES THF. SS ES
le premier cas, oiv emploiera moins de temps pour atteindre l’autre rive, puisque la vitesse résultante OC est
plus grande que OC'.
Composition de deux mouvements quelconques.
25. Considérons maintenant deux mouvements simultanés quelconques. La question est la suivante : Un mobile se meut dans un système A, ce système A se meut dans un système B, le mouvement du mobile par rapport aux points du système B est le mouvement résultant: nous cherchons la vitesse de ce mouvement résultant à un moment quelconque. Soit M (Jig. 18) la position du mobile au temps t dans le système A et dans le système B; M' sa posi- - lion dans le système A au temps <-+-Af, quand on suppose le système A üxe; la droite MM' est le déplacement relatif du mobile dans le système A pendant l’intervalle de temps AL Mais, pendant cet intervalle de temps At, le système A se déplace dans le système B, emportant avec lui le mobile, et le point M', où se trouve alors le mobile, vient en M"; c’est là la position du mobile dans le système B au temps t At ; le déplacement résultant est MM". On peut ainsi déterminer la position M" du mobile à chaque instant dans le système B, et par conséquent construire la trajectoire du mouvement résultant. Sur la droite MM' pro-
longée prenons une longueur MG, égale à ; par le point G, menons une droite G, H, parallèle à M'M" et
