Nous avons déterminé la résultante E des deux

forces F et F', en la considérant comme la force qui produit, à elle seule, le même mouvement que les deux forces proposées agissant simultanément ; ceci est bien d’accord avec la notion que nous avons donnée de la résultante par l’équilibre (n° 88). Appliquons, en effet, au point matériel Fi*, w. une force R' (fig. 60) égale et contraire à la

force R ; il est évident que cette force R' produira un mouvement égal et contraire à celui que produit la force R, ou les deux forces F et F'; ainsi, le point M, sollicité par les trois forces F, F', R', restera en repos et, par conséquent, les trois forces se font équilibre.

Composition d'un nombre quelconque de forces.

92. Nous avons dit (n° 58) que les forces sont représentées par des grandeurs géométriques, c’est-à-dire par des longueurs portées dans des directions déterminées. Dans le triangle OAC (fig. 59), les côtés OA et AC représentent les deux forces F et F' ; le côté OC, qui est la somme géométrique des deux précédents, représente la résultante R. Ainsi, on peut dire que la résultante de deux forces est la somme géométrique de ces deux forces.

Cette règle s’étend à un nombre quelconque de forces appliquées à un même point matériel. Supposons le point matériel sollicité par quatre forces F, F', F", F"; à la suite

de la grandeur géométrique OA qui représente la première force F (fig. 61), portons la grandeur géométrique AB qui représente la seconde force F'; la rig. «i.

somme géométrique OB représentera la résultante de ces deux premières forces. A la suite, portons la grandeur géométrique BG qui représente la troisième force F"; la somme géométrique 0 r *

OG représentera la résultante des deux forces OB et F', c’est-à-dire la résultante des trois premières forces F, F', F". A la suite, portons encore la grandeur géométrique CD qui représente la quatrième force F"; la somme géométrique OD représentera larésullante des deux forces OC et F", c’est-à-dire des quatre forces proposées F, F', F", F". Ainsi, en considérant les forces comme des grandeurs géométriques, on peut dire que la résultante R de plusieurs forces, appliquées à un même point matériel, est éqale à la somme géométrique de ces forces.

Lorsque la ligne brisée, formée avec les forces portées les unes à la suite des autres, chacune dans sa direction, est fermée, c’est-à-dire lorsque les deux extrémités se rejoignent, la résultante est nulle et, par suite, les forces proposées se font équilibre.

95. Nous pouvons appliquer à la composition des forces les principes que nous avons établis, dans le livre I, n 0! 25, 26 et 27, pour la composition des vitesses et pour la composition des accélérations, principes qui s’appliquent, en général, à l’addition des grandeurs géométriques.

La résultante B des deux forces F et F' étant représentée par la diagonale du parallélogramme construit sur ces ileux forces, on a, dans le triangle OAB {fig. 62),

MVRE II. DYNAMIQUE .

<■ R î = F ï 4-F' î + 2FF'cos(F,F'),

j/ J en désignant par (F, F') l’angle AOC

’ A des deux forces.

Lorsqu’on compose trois forces F, F', F", la résultante Fig. «3. R est J a diagonale OC du parallélipipède construit sur les trois forces OA, f \ /\ c AB, BC [fig. 63). Si les forces sont per- / -7 / pendiculaires entre elles deux à deux,

4r<iC ./ / leparallélipipèdeestrectangle,etl’ona

Considérons maintenant le cas général (fig. 64). Il est

Fig. M.

évident que la projection de la résultante OD sur une droite quelconque est égale à la somme algébrique des projections des forces proposées. On peut, à l aide de ce théorème, déterminer la grandeur et la direction de la résultante.

Menons trois axes rectangulaires Ox, Oy, O;. Désignons par F la première force et par a. b, c les angles qu’elle fait avec les axes. Désignons de même par F' la seconde force et par a', //, c' les angles qu’elle fait avec les axes, etc. Appelons R la résultante, et A, B. C les angles qu’elle lait avec les axes. En projetant orthogoualemcnt sur chacun des axes, on a

l Rcôs A = F cos «4- F-' cos «' + ...

(1) j R cosB = F cos b -+• F'eosA' -t- ...

\ RcosC = Fcoac -t- F'coSe' ...

En joignant à ces trois équations la relation

( 2 ) cos î A + cos*B-f-cos î C=!,

on a ainsi quatre équations pour déterminer les quatre inconnues R, A, B, C.

Si l’on élève au carré les deux membres des trois premières équations et qu’on les ajoute membre à membre, on a, en tenant compte de l’équation (2),

( 3 ) H*=p(Fco6fl + F , cosa'-|-...) î +

(Fcob b 4- F' cos À'-f-...)* -f- (F cos c 4- F' cose'4-. . .)*.

Dés que l’on connaît la grandeur de la résultante, les équations ( 1 ) donnent les angles A, B, C et, par conséquent, déterminent sa direction.

Il est clair que la grandeur de la résultante ne dépend que des grandeurs des forces proposées et des angles qu’elles forment deux à deux; le second membre de l’équation ( 3 ) doit donc être indépendant de la position des axes choisis pour effectuer le calcul. C’est ce qu’il est facile de reconnaître; si l’on effectue les carrés et que l’on groupe convenablement les termes, il vient

R , =F*(cûs , rt4- cos 4 64- cosVj 4- F' s (cosW 4 - cos* b' 4- cos a c')

4- ... 4- 2 FF' (cos a cos a'4- cos b cos bi 4- cosccosc') 4 -.-- ,

ou, plus simplement,

( 4 ) IV = F J 4 -F' S 4 - 4 - 2 FF' cos (F, F') 4-—

Le carré, de la résultante est égal fl la somme des entrés des f arces proposées, plus deux fois la somme des produits que ton obtient en multipliant ces forces deux à deux, et pur le i usinas de l'angle quelles forment entre elles.