LIVRE n. DYNAMIQUE
Conditions d’équilibre des foroes appliquée* à un même point matériel.
94. Pour que des forces F, F', F", appliquées à un même point matériel, se fassent équilibre, il est nécessaire et il suffit que leur résultante soit nulle.
Si la résultante est nulle, le polygone des forces étant fermé, il est clair que la somme des projections des forces sur un axe quelconque est nulle ; en projetant sur trois axes rectangulaires, on a les trois équations
I F cos<7-t- F' coso'-f- ...=0,
F cos b -f- F' cosé'-t- ...=0,
F cos c F' cos c'-t- ... = 0.
Réciproquement, quand ces trois équations sont vérifiées, il y a équilibre. En effet, supposons que les forces proposées admettent une résultante R; cette résultante serait déterminée par les équations (1); mais, par hypothèse, les seconds membres sont nuis, on aurait donc
R cos A =0, R cos B=0, R cos C = 0 ;
les trois cosinus ne pouvant être nuis à la fois, puisque la somme de leurs carrés est égale à l'unité, il est nécessaire que la résultante R soit nulle ; donc il y a équilibre. Ainsi les trois équations (5) sont nécessaires et suffisantes pour l’équilibre.
95. Après avoir donné les conditions générales d’équilibre, examinons quelques cas particuliers. Lorsque deux forces F et F' seulement agissent sur le point matériel, pour que ces forces se fassent équilibre, il est nécessaire et
il suffit que ces deux forces soient ri*, «s.
égales et opposées ; sans quoi elles r r >
admettraient une résultante diffé- *
rente de zéro (fig. 65).
Supposons maintenant que trois forces F, Fi «- F', F" agissent sur le même point matériel (fig. 66); remplaçons les deux forces F et F' par leur résultante R; pour l’équilibre, il est nécessaire et il suffit que la troisième force F* soit égale et opposée à la résultante R des deux premières. On voit par là que les trois b forces proposées sont situées dans un même plan; en outre, elles vérifient les relations
sin (F', F") sin (P', F) siu (F, F') ’
que l’on obtient par la considération du triangle MAC.
En général, lorsque plusieurs forces se font équilibre sur un point matériel, l’une quelconque d’entre elles est égale et opposée à la résultante de toutes les autres.
96. Remarques. Nous avons cherché la résultante de plusieurs forces, en supposant les forces constantes en grandeur et en direction. Si les forces étaient variables, il faudrait considérer les grandeurs géométriques qui représentent ces forces à un certain moment et les supposer constantes dans cet état; l’application des- règles précédentes donnerait la valdiir de la résultante à cet instant. En considérant les grandeurs géométriques qui représentent les forces à un autre moment, on obtiendrait la valeur de la résultante à ce second instant, valeur qui serait, en général, différente de la première, elainsi de suite.
HO
