Corollaire II. Nous avons supposé, dans ce qui pré

cède, qu’une seule force agit sur le mobile. Lorsque plusieurs forces agissent sur le mobile, comme on peut les remplacer par leur résultante, on dira que l’accélération est égale en grandeur et en direction à la résultante des forces divisée par la masse. Mais, quand on se sert des équations (1), il n’est pas nécessaire de chercher préalablement la résultante ; on sait, en effet, que la projection de la résultante sur un axe quelconque est égale à la somme de projection des forces. On a ainsi les trois équations

I wD ( *x=Fcosff-hF , cosa'-+-...

wD, s y=F cos6-|- F'cosA'+ ...

nïD ( *s =Fcos c F'cos c'-4- . . .

Si l’on projette sur la tangente, sur la normale principale, et sur la perpendiculaire au [dan osculateur, on écrira que la somme des projections des forces sur la tangente est égale à que la somme des projections des forces

sur la normale principale est égale à -~ t et enfin que

la somme des projections des forces sur la perpendiculaire au plan osculateur est égale à zéro. Cette dernière équation exprime que la résultante des forces est située dans le plan osculateur.

On arrive au même résultat, en décomposant chaque force en deux forces, l’une dirigée suivant la tangente, l’autre située dans le plan normal. Il sullit, pour cela, de mener un plan par la tangente et la force, et de prendre l’intersection de ce plan avec le plan normal. La somme des composantes tangentielles est égale à la résultante

des composantes normales est dirigée suivant la normale

principale et égale à ~ .

LITRE U. DYNAMIQUE

103. Corollaire III. Lorsque la résultante des forces qui sollicitent le mobile est constamment normale à la trajectoire, en d’autres termes, lorsque la somme des composantes tangentielles des forces est nulle, on a »?D,o— o, et par suite v—v 0 ; la vitesse est constante. C’est ce qui a lieu quand un mobile se meut sur une courbe fixe parfaitement polie, sans être sollicité par aucune autre force que la réaction normale N de la courbe ( fig . 69) ; la vi- Fig. 6». tesse du mobile, quoique cbaugeant sans cesse de direction, reste constante. La réaction normale N, que la courbe exerce sur le mobile, est dirigée suivant la normale

principale et est égale à r ^~ ; elle varie

en raison inverse du rayon de courbure.

Le mobile exerce contre la courbe fixe une pression — N, égale et contraire à cette réaction normale.

Lorsque le mobile se meut sur une surface parfaitement polie, sans être sollicité par aucune autre force que la réaction normale de la surface, la vitesse est aussi constante ; la trajectoire décrite par le mobile sur la surface a sa normale principale en chaque point normale à la surface ; c’est une propriété de la ligne minimum tracée sur la surface d’un pointa un autre.

104. Corollaire IV. Nous savons (n° 59) que, dans le mouvement circulaire uniforme, l’accélération est sans

cesse dirigée vers le centre et égale a y; on eu conclut que la force nécessaire pour un pareil mouvement est dirigée vers le centre et égale à Cette force cen-

tripète est proportionnelle au carré de la vitesse et en raison inverse du rayon.

Lorsqu’un corps, placé dans, une fronde, tourne d’un mouvement uniforme, la force qui produit ce mouvement circulaire est la tension du fil ; elle provient de l’effort exercé par la main qui tient l’extrémité de la corde. Si le corps pèse un kilogramme, etdécrit un cercle de 1 mètre de rayon avec une vitesse de 10 mètres pac seconde, la

force centripète est égale à — = = 10,2 kilo-

grammes.

On donne encore à la force centripète, capable de produire le mouvement circulaire uniforme, une autre expression. Le rayon OM, qui va du centre au mobile M (fig. 70), décrit des angles proportionnels au temps. On appelle vitesse angulaire l’angle M OM' décrit par le rayon dans l’unité de temps. Cet angle est mesuré par l’arc ab compris entre ses côtés dans le cercle dont le rayon est égal à l’unité. Si, par exemple, le mobile décrit la circonférence en 40 secondes, la circonférence de rayon 1 étant égale à 2 tt, l’arc ab décrit par le point a en une seconde, ou la vitesse an-

gulaire, est égal à Nous désignerons par m la vitesse

angulaire ab; la vitesse v du point M, ou l’arc MM' décrit en 1 seconde, est égale à wr, et la force centripète a pour

nu aV , , , ,

expression — - — , c esl-a-dire muV.

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UVHE n. DYNAMIQUE.

Exemples.

Il esl bon d’appliquer à quelques exemples les principes que nous venons d’exposer. Considérons, en premier lieu, le mouvement des planètes.

105. Première question. — Mouvement des planètes. Les planètes décrivent autour du soleil des orbites à peu près circulaires et d’un mouvement à peu près uniforme. Nous bornant pour le moment à une première approximation , nous supposerons les orbites rigoureusement circulaires et le mouvement uniforme. Il en résulte que chaque planète est sollicitée sans cesse par une force dirigée vers le centre du soleil. Le soleil attire en quelque sorte les planètes, comme une corde tire la pierre qu’elle lait tourner en cercle : cherchons la loi de cette attraction.

Soit m la masse d’une planète, r le rayon du cercle qu’elle décrit autour du soleil, T la durée de la révolution, F la force qui sollicite la planète vers le soleil, on a

inr mv 1 4 idmr

v ij- . r r pi •

On aura de même , pour une seconde planète, e, 4 idrn'r'

On en déduit

F ni r T”

m Kepler a reconnu par l’observalion que les carrés des

MOUTEHEHT FRODÜIT PAR UNE FORCE VARIABLE. 123

temps des révolutions sont proportionnels aux cubes des rayons ; on a donc

on en déduit

ou = — -.

Ce rapport est le même pour toutes les planètes; en désignant par p la valeur de ce rapport constant, on a

d’où F=Æ

Ainsi, r attraction que le soleil exerce sur les planètes est proportionnelle aux masses des planètes et inversement proportionnelle au carré de leurs distances au centre du soleil. C’est la loi célèbre de Newton. Nous traiterons plus tard (liv. V, chap. 1 ) la même question dans l’hypothèse plus exacte du mouvement elliptique.

106. Autour de certaines planètes, de Jupiter, par exemple, se meuvent des satellites, suivant les mêmes lois que les planètes autour du soleil; on en conclut que la planète attire les satellites, proportionnellement aux