LIVRE II. DYNAMIQUE
projection du mobile sur chacun des axes est égale à la projection de l’accélération du mobile lui-même dans l’espace. On a donc les trois équations
, F cosa y cos a —
y cos b'
y COS c' =
TH
Fcosé
F cos c m
cos a' cos b' cos c '
cosa cosé cosc
Si l’on combine les trois premiers rapports d’une façon convenable, on obtient le rapport égal
V cos* q'4- cos* b ' -t- cos* c ' Ÿ cos 1 a 4- cos* b cos*c
Les quantités ~ et y étant essentiellement positives, on prendra le signe 4- . On a ainsi
cosa' cos b' __ cosc' ni ^
cosa cosé cosc y
Il en résulte
O» voit par là que l’accélération y au temps t a même direction que la force F, et que sa valeur numérique est égale à la valeur numérique de la force divisée par la masse du mobile. En un mot, la grandeur géométrique MG, qui représente l’accélération, est égale à la grandeur géométrique MF’ qui représente la force, divisée par le nombre abstrait m, que l'on appelle masse du mobile.
101. Corollaire I. Ce théorème est très-important; il établit une relation très-simple entre la force et le mouvement qu’elle produit. C’est à l’aide de ce théorème que l’on parvient à résoudre les deux questions principales qui se présentent en dynamique ; 1 ° un mouvement étant observé, trouver la force qui le produit ; 2° étant donnés la force qui agit sur l<* mobile et l'état initial du mobile, c’est-à-dire sa position initiale et sa vitesse initiale, trouver le mouvement.
Si l’on rapporte le mobile à trois axes rectangulaires fixes, et si l’on appelle x, y, z les coordonnées du mobile, nous savons que les projections de ia vitesse sur les axes sont exprimées par les dérivées premières D r r, D ,y, D,~, et les projection s* de l’accélération par les dérivées secondes IVx, D ,*y, D, 1 :. L’ accélération y étant égale en grandeur .F
et en direction au quotient — on a les trois équations
= — cos a , rn
F / =— cos O, m
= — cos c .
LITRE II. DYNAMIQUE
Quand on connaît le mouvement, x , y, z étant des fonctions connues de t, ainsi que leurs dérivées, ces trois équations donnent les trois projections de la force inconnue qui produit le mouvement, et par conséquent déterminent cette force en grandeur et en direction.
Quand on donne la force et qu’on cherche le mouvement, il faut à ces équations joindre celles qui se rapportent à l’état initial du mobile. Soient x 0 , y 0 , z 0 les coordonnées du mobile au temps t—o, v„ sa vitesse initiale, a'». A'o, c'o les angles qu’elle fait avec les axes, on doit avoir, pour t—o,
! x=x 0 , f D r r— 1 ' 0 cos n ' 0 ,
?/ = y<» (3) | D,y=t’ 0 cos6' 0 ,
Z — Zq J \ D(Z — Uq C09 C o ,
La question revient à trouver trois fonctions x, y, z de t , satisfaisant aux équations (1), et vérifiant les conditions (2) et (3).
On peut aussi procéder d’une autre manière : l’accélération, et par conséquent la force, sont situées dans le plan osculateur; nous avons démontré (n° 47) que les projections de l’accélération sur la tangente et sur la normale prin-
cipale ont pour expressions D,w et —, r étant le rayon de
courbure. On a donc, en désignant par a l’angle que fait la force avec la tangente, les deux équations
D,«= — cos «, m
— = — an a.
