C.ORI'S BEFOBJIABLliS. loi
Ce théorème est dû à Hclmhollz, la démonstration ([iii en est donnée ici appartient à Thomson.
L'intensité rotatoire d'un tube toiirbillonnairc est indé- ^«•"""^
tliénréme
pendante du temps. diidmhoiu,
Ëi on considèfo un tube lourbiilonnairc et une surface
qui le coupe, l'intégrale
relative à celle-ci est constante tout le long du tube; elle est aussi, comme on l'a vu plus haut, indépendante du temps.
Remarque, — Ces tliéorèmes d'HelinhoItz sont une conséquence de l'existence d'une fonction des accélérations.
La réciproque est-elle vraie?
Supposons d'abord que le premier théorème d'Helmholtz soit vrai, c'e&t-à-dire que les lignes tourbillonnaires soient des lignes physiques; reprenons l'égalité applicable à tous les cas, obtenue plus haut, savoir :
éfv-^/'^
il existe une famille de surfaces physiques (les surfaces tourbillonnaires) pour lesquelles on a constamment O;,- — 0. L'égalité précédente montre que sur les mêmes surfaces on aura
yGoosle
D UKLSIHOLT?,.
L'hypothèse û — enLraîae donc, dans le cas où le premier Ihéorème d'HelmhoKz est applicable, l'hypothèse û^= 0; donc la conservation des lignes et par suite des surfaces tourbillonnai res exige seule?nent que l'accélération roCatoire soii parallèle à la rolation moyenne.
Mais la simultanéité des deux thcorcmes d'IIelmhollz exige que l'on ait partout
el par conséquent
donc en ce cas il y a nécessairement une fonction des accélérations.
Application Le théorème d'Haukel permet très simplement d'exprimer d'Hankeiaux '* rotation moyenne en coordonnées curvilignes, roordonnées Considérons sur la surface : pj=C'%
curvilignes.
le quadrilatère curviligne AMiA'M^.
AMi courbe oià p, varie seul AMj courbe où p^ varie seul M, A' courbe où p:, varie seul A'M, courbe où pi varie seul
Soient Qi, Qj, û^ les composaûtes de la rotation moyenne suivant les droites AA,, ÂA^, AAj déjà envisagées, normales aux surfaces respectives : f, (ie, y, ;) - ?,
U [^, V. z) = f, formant uu système triple orthogonal.
COUPS Bf.FORMABLKS.
La parlie principale de l'intégrale ~ f^l *'"' relative à l'aire de la surface pj = c° limitée par le quadrilatère curviligne sus-mentionné sera :
rinlégrale curviligne équivalente sera :
A, ih M, A
ot aura pour partie principale :
le Ihéorètne de Stokcs donnera alors au point A les trois formules :
Théorie de l'élasticité.
La fonction des forces moléculaires.
Soit un point donné, traçons mie sphère ayant pour centre et un rayon E très petit physiquement parlant, mais assez grand pour oonleair un très grand nombre de particules.
Celles-ci sont de dimensions très petites par rapport à leurs distances mutuelles et exercent les unes sur les autres des actions concentrées en leurs centres de gravité et fonctions de ia position mutuelle de ces centres.
Cette dernière hypothèse est l'hypothèse moléculaire.
Nous admettrons que les forces dérivent d'une fonction des forces qui ne dépend que des distances mutuelles des centres de gravité des particules; ce qui, remarquons-le bien, n'exige pas que les forces soient mutuelles.
Nous regarderons, d'ailleurs, les molécules comme formant un système libre. L'hypothèse des liaisons n'a pas plus de généralité, et au point de vue analytique, sinon au point de vue concret, il est commode de s'en passer.
L'équihbre d'un système de particules isolées s'exprime très aisément, comme nous le verrous, au moins théoriquement.
Mais la conception de fonctions de points isolés, et surtout la conception de leurs dérivées demande quelques éclair-
UliFOIlM\]!LES.
cissemeiils.. Il s'agit en somme de la clislinclion du conlinu malliémalique e-L du continu physique.
En Analyse, le mot inliniment pelit s'applique à une grandeur variable qui tend vers zôro; il semble donc qu'une fonction u {x,y,z) des coordonnées d'un point faisant partie d'un ensemble discontinu ne 'puisse admettre de dérivées partielles par rapport à ces variables. Et pourtant, nous considérerons par la suite les projections \, Ti, K, du déplacement élastique d'une particule de coordonnées x, y, s, et nous considérerons comme dans le cas d'un milieu continu des dérivées :
dx' "■" * d^ '
Que faut-il entendre par làï
Nous serons amenés par la suite à considérer un domaine de petites dimensions physiques (la sphère d'activité moléculaire) renfermant un grand nombre de points physiques, et nous admettrons qu'à l'intérieur de ce domaine on a :
Les quantités Aj B, C, désignant des quantités sinon constantes dans ce domaine, du moins des quantités dont les variations dans ce domaine sont de l'ordre physique de l'étendae linéaire de ce domaine. Les quantités A, B, C, ou leurs valeurs moyennes pourront jouer alors le rôle de premières dérivées pJtysiqiies de la fonction u.
Si Ao, B„. Cj, désignent des fonctions de x^, y„ z„, analytiquement continues;
Et si, dans l'intérieur du petit domaine, on a :
u [x, y. -.] - u {X.. y„ ^.) = ft, (:t - .ï.) + i',. <JJ - >J.) -[■ C. (;- ^,) + 1'
yGoosle
192 DÉRIVÉKS PHYSIQUES.
* désignant une forme quadratique approchée des a: — a„, y — y., ^ — :-o-
Los coefficients de * seront, sinon des constantes, du moins des quantités dont les -variations sont de l'ordre physique de l'étendue du domaine considéré, les quantités A„, Bo, G„ seront les dérivées premières précisées si l'expression A^dx + B^dy + 0,^2 est inlégrable.
Ces considérations manquent évidemment de rigueur et il y a, sans doute, une infinité de dérivées précisées possibles ; quoi qu'il en soit nous supposerons que si ti désigne l'une des composantes d'un déplacement élastique l'on puisse poser approximativement :
u{x',v\z') -î((a;,?/,s)^A„(a;'-:r)-fB<,(;/' — î/)-fC„(,-' — ^}
Ao, B„, G„ étant des fonctions analytiques, admellant des dérivées et satisfaisant aux condilions;
dk^d^ dko dC^ dBo(iC„ dy ~ dx' dz ~7 ^'' dz ^ dy
en ce cas nous pourrons représenter les coefficients A„, B„, C„ par les notations :
du du dic dx ' dx' dy
L'équilibre Soient œ„ y,, Zi les coordonnées cartésiennes du centre de (^ astique. gravjté d'une particule M,- du corps envisagé dans un premier état d'équilibre que nous appellerons équilibre naturel. Nous désignerons par Aj, Bj, Cj les projections de la résultante des forces intérieures exercées par les molécules du
I^ORPS LÉFOBMABLKS.
.corps sur la molécule M;; soient P;, Q,, U; les projeclions d'une force extérieure,
Les équations de l'éqailibre naturel seront :
C, -f II, =
Supposons maintenant que des forces extérieures nouvelles viennent à agir, une nouvelle position d'équilibre du système va naître.
Les coordonnées de la particule ^iViZi deviennent
œi'\'l„Vi-
les valeurs des actions moléculaires intérieures sont changées, car Af,B;,Cf sont des fonctions des coordonnées Xi,yi,Zi de M; et des diverses coordonnées x,,yi,z„ des autres particules M^. Désignons par (A,), (Bi), (C) leurs nouvelles valeurs et faisons :
A, =; F (xi.vu^r, Xk.VK,=k; ■■•■)
Faisons ensuite :
et, soient X,-, Y,-, Z; les variations de la force extérieure appliquée en M;, nous aurons pour l'équation de l'équilibre contraint ;
(li,) 4- Q, + Y,- = (C,-) -1- II, -j- Z,. ^
yGoosle
194 EQIJIUIIRK ÉlASTlQrE.
Soit U la fonction des forces moléculaires, nous la supposons développable en série de Taylor par rapport aux puissances des l,-'[,i; désignons par \h le terme homogène de degré X de ce développement, on aura :
(in,
<Î0, <iD,
^^•>^ a5+ <Ki+ ■■
Si on néglige les puissances supérieures ï,"ii, ï supérieures à la première et si on subsLilne ces valeurs dans les équations de l'équilibre contraint, on Irouycra :
Ces équations sont du 1'''' degré en ^r',; C;. ltv>^k. et s'il y a n molécules, on aura 3 7t équations linéaires à 3 n inconnues.
Gomme les molécules ne sauraient être données individuellement, la méthode précédente est purement formelle.
COUPS DÉPOBMMILBS. 195
Nous supposerons d'abord que la fonction des forces ne Hypothèse rodépende que de la configuration du système, c'est-à-dire f^jj^tion des des dislances mutuelles des molécules prises deux à deux. forces.
Si X, y, z sont dans le premier état d'équilibre les coordonnées d'une molécule générale m„ nous désignerons les coordonnées d'une molécule voisine par x -\- Dx, y -\- Dy, z -\- Dz.
iSTous désignerons par R le cairé do leur distance dans le premier état :
It = D,,^ 4- II,,; + D.^ ;
Soient '%. -.,, i;. les projections du déplacement de mj, \ + Dl, T\ -\- Dv], C -|- D^ les projections du déplacement de m^. R deviendra R -|- p g^ ''oh aura
(U + p) ^ (D^' + DOH- (Lli/ + D-',)' H- (D; + m
■en développant la fonction U de K, il'...
U(lï+f, lï' + p'...)^
suivant les puissances de p. p' on aura en négligeant les termes du troisième ordre
Dr
La comparaison des ■valeurs de R et R -j- p donne d'ailleurs ou, en faisant ;
NOUVELLES nïrOTHr.SES.
En suljstiLnant oL négligeant loiijours les termes du troisième ordre, l'expression de U deviendra :
Hypotliiise relative S la
vile tnolôcu-
Les actions moléculaires ne s'exercent qu'à une dislance S très petite (rayon d'activité moléculaire). U n'acquiert de valeurs sensibles que pour les couples de points moins éloignés que s et de plus chaque quantité ■ . . , n'est
appréciable que si les quatre points relatifs aux dislances R et R' sont dans une sphère de l'ordre de S.
Considérons dès lors le volume V limité par une surface fermée, décomposé en deux régions V et V".
Nous pouvons partager les distances mutuelles en trois groupe? :
1" Celles qui ne mettent en joli dans U que les dislances de poinls tous situées dans V', soit U' la partie correspondante de U.
2" Celles qui ne mettent en jeu dans U que les distances de poinls situés dans V.
3° Celles qui font intervenir dans U et des poinls de V et des poinls de V".
Si les volumes considérés sont grands par rapport au rayon eC activité moléculaire, l'imporlance du troisième groupe est négligeable devant celle des deux autres.
Dans ces conditions nous admettons que l'on a;
COaPB BÉFOnitABLES. VJl
el il on sera encore de même lorai:|ue noua diviserons le volume en éléments physiques pelilE i-r, mais grands encore par rapport à la sphère d'activité moléculaire. Nous admettrons que Ton pourra poser encore
II = V W Ar
W désignant une fonction des distances mutuelles des points uniquement situés dans le volume At.
Nous admettons que l'on aura à l'intérieur de jIt
dy dy
iïi^
Les dérivées partielles physiques gardant de plus une valeur sensiblement constante à l'inténear de ix.
La fonction des forces de l'élément At sera donnée par une expression analogue à (2 bis), mais dans laquelle ne (igurent que des distances mutuelles de points situés dans i-: ; posons :
On aura en se reporlant aux valeurs de pi, p^ et en vertu de (3)
yGoosle
IIÉDUCTION DE 1
après avoir fait :
''' ~ dij dz
dî dl
^'■ = dIS
