COORDONNÉES CURVILIGNES
La distance indniment petite e des deux points ÂB est, d'après la remarque faite tout à l'heure
z^ — ^:-i4- formule exacte au 3" ordre près,
eu sorte que le point B se déplaçant sue la droite AB ou sur une ligne bien définie, on peut écrire :
S; -TT — eVI4-rae) '« étant une fonction bien déiÎLiie de ^ et de la direction de s ; en différenlianl par rapport au temps on aura dans le second nombre
dont la partie principale est 2s y si -t° n'est pas luil, ce que nous pouvons supjjoser.
Nous trouverons ainsi en conservant la partie principale
ijti dh,df, dk,df, . dkdf,iji, ,i*,l, i^*!
«-dp, dl +Sp, il+ik. * -</p, <"'"'' + if, *'•"■-' + ip."'"'
^'=1* = i ((„,) = ''Shâà ■ ' '''''■
(U,)=^^ip,+ -,^'if. + -^
on anra donc
COaPS DÉFOUMABlliS. 169
d'ailleurs dans le système d'axes {xi, x^. xi)
on a rf(x', = îÀf= -T^'
en substituant ces ^^, dans la relation précédente, il viendra en divisant par e'
en identifiant cette forme quadratique en >m, î-s, î-n avec celle déjà obtenue, nous aurons les relations qu'on se proposait de trouver :
a, = ■■ \ ■-- ~ r \ «i'«i j — h "^''^ T-^ + "j 'a j— ï api »i \ opi ops (Jpa /
^^ = -d^ - s; l"'"' rf^ + "^'^^ dV + "^''^ dT;)
"^ "~ dp3 Je' \ ' ' dpi "1" ^ '^ dpj "r "^ '■' dpj /
^3 d (/tjita) ^2 à (/i.jita) '^' /(j dpa As dpa
' /(j dpi "'" ht rfpj
- F, ~ri^ + h, ~â^
La dilatation cui">ique Q = Jii + «^ -r ï;, s'exprimera donc ici par la formule :
170 TBAMSF01IJ)ATIO>( J)E il'.
Voici une application aiialytic^ue de cette formule concernant la transformation de l'expression :
(où a:, y, z sont des coordumices cartésiennes reclangles)
en coordonnées curvilignes orthogonales; si la vitesse ii est définie par les composantes cartésiennes :
dP dç, dV
la liilatation cubique est ici AF.
Oq aura donc cette formule
AF = t.yi, %jMf, + lii/i, df, + Jnh
Des calculs analogues donneraient la rotation moyenne en coordonnées curvilignes ; mais celle-ci résultera plus sinjplement des propriétés nouvelles qui seront étudiées dans la prochaine leçon.
Propriétés relatives à la distribution des vitesses dans le milieu. — Théorèmes de Stokes et d'Helmholtz.
Soient  (a-, «, s) cl F (x, u, z] deux fonctions continues ^^^^^'^ ^*
^ ■' ' \ > J' } quelques tor-
adincltant des dérivées continues ; consiaérous 1 mteyrale ^^^^^ simples
de volume étendue au domaine E des points limité par ^e
, p ; r. ciilcul intégral, une surface fermée S :
Pour calculer cette intégrale de volume, adoptons un mode de découpage de l'espace en un réseau de parallélipipèdes rectangles à trois dimensions infiniment petites et parallèles aux axes des coordonnées cartésiennes x, y, z; en ce cas, d-^ = dxdydz ; pour calculer l'intégale :
associons enseml)le une (ile de parallélipipèdes du réseau ayant même section droite dyds; pour tous les points se, y, s de cette file intérieure au domaine D et situés sur une même parallèle à l'axe des a:, y et s sont les mêmes, et la variable x varie seule.
La partie principale de l'intégrale relative à celte file est ;
172 iNTÉGIlATlON GÉOMÉTIUQUE l'Ail PAUTILS,
r (jf ôyiz. I k -y-^dx
or, on a, d'après le théorème de l'intégration par parties,
reste à préciser les limites.
La parallèle D à l'axe des x qui est comme l'axe de la file envisagée rencontre, nous le supposons, la surface S en un nombre fini de points, on pourra considérer dans ce nombre total de points un nombre pair d'entre eux qui jouiront des propriétés suiYantes :
La droite D étant censée parcourue dans le sens parallèle à celui de la direclion posilÎTC de l'axe des x renconlre la surface S aux points
M1M0M.M1 M,j,,iM,p.
ei les portions
Mi:\î,,M,Mi, , M,,,,Msj,
de la droite D sont iuLérieurcs au domaine E tandis que les portions
M.Mj.M-.M;,, , Mi,, ,.M,j,i
sont extérieures au domaine E.
Si on désigne par Xi,x^, a:;^.,,^:;,, les "valeurs
croissantes de x qui correspondent respectivement aux points
COUPS rÉPORMiiiLES. 173
l'intégrale à calculer est
Xi s-; X,,,
mais en posant pour abréger
A(37,,î/,-,30F(*„yi,3)^(AF),
la somme précédente se ramène par l'intégration par parties à
[(AF), - (AF),1 -h [im^-im^ + [(AF,.„ - (AF),,.,]
D'ailleurs le parallélépipède de section droite àij ds découpe sur la surface S autour des points M,, Mj M?^. des éléments de surface
dui^, dtù^, duij, (Jm.v, diu^p—i, dwjj,
et en désignant par «,, n^, ™>;)-n »3î, Ibs direclions
des normales à ces divers éléments menées vert! l'extérieur de la surface, on aura
dijih = -f (rfM)i,cos [il,,, 3;} = — [âi»]-u-x cos (ih^-,,x)
cette remarque ramène iramôdialement l'intégrale de volume
f\ j- d' k l'intégrale de volume —/F 7- i.h et à
1*4 DISTRlBDTIOîi SOLÉNOÏDALE.
l'intégrale de surface A(FA) cos («.œ) dcu cLenduc à la surface S; en d'aulres termes :
tel est le théorème qu'on appelle quelquefois théorème de l'intégration géométrique par parties.
En faisant varier le rôle joué par chaque axe de coordonnées, et appliquant trois fois ce théorème au cas de A— 1, on établira immédiatement la formule suivanlc :
si le vecleuv (F, 'l', "'l') Tcritie la distribution soiénoïdale, c'est-à-dire si
cix'dy ' dz
l'intcgralC'de surface
/ [F Cûs [n.x) -f 'Il cos in.ij) -\- ^Y C05 {n.z]] âiM
sera nulle; on peut d'ailleurs, en désignant par R le vecteur qui a pour projections sur les axes F, *, ¥ et par R,, la projection de ce vecteur sur la normale à l'élément dut dirigée vers l'exlérieur de la surface, l'écrire :
COBPS DÉPORMABLES.
dx ^ cUj ^ dz est salisfiiite identiquement.
Si donc û (iôsigne la rotalion mo)'eniio aux composantes Appiicition p, p, r ou aura : ^ moyllnl""'
— Corollaire. — Considérons daus le milieu pliywique en mouvement la double infinité de courbes qui satisfoul chacune aïix équations différentielles :
et qu'on appelle depuis Helmhollz des lii/nes tourbiUonnaires, puis considérons l'ensemble de ces lignes qui s'appuient sue le contour d'une aire plane ayant deux dimensions infiniment petites, nous formons ainsi un tube tourbillon ou tube tourbUlonnaire , limitons ce fubc à deux sections planes par exemple, l'inlégralo
THEOREME DE STOKES.
étendue à toute la surface ainsi limitée est nulle, m^is en tout point de (a surface latérale de ce canal Q„ = 0.
Si donc n se rapporte au côté de la base du lube qui convient à un sens déterminé de parcours d'un filet du tube tourbillonnaire on aura
/Q„ d<j) =:: liOlISlniltû
sur les deux bases du tube.
En particulier si la base du lube est normale à un lilct l'intégrale diffère infiniment peu du produit chiQ, on l'appelle intensité rotatoire dit tourbillon.
Remarque. — Le théorème précédent montre que si on considère deux surfaces, jetées en pont sur une même courbe fermée et dont la réunion forme un domaine E sans pénétration réciproque, l'intégrale Ji~în(h> aura même valeur sur les deux surfaces.
// est donc naturel de prévoir que l'intégrale considérée est réductible à une intégrale c^irviliçjne relative à la courbe fermée G.
C'est ce que va coniirnier le théorème suivant.
Thenismc Cousidéroos une courbe fermée G, gauche ou plane, sur
aHinkei laquelle s'appuie une certaine surface, supposons qu'on nomme adopte un sens de parcours de la courbe G; on peut tiieoime de as=iOcier alors à ce sens de parcours un sens de la normale à un élément abcd de surface; en effet, si par une déformation continue, on passe de la courbe G au contour abcd, on déliuil un sens de parcours de ce dernier; le sens de
€01ll'S DErOîlMAT!Li:S.
la normale à l'élément, associé à ce sens, sei'a tel qu'un
observateur reposant suc le
plan tangent à l'élément, en
un point intérieur à celui-ci,
voit le sens de parcours
abcd parcouru par rapport
à sa droite et à sa gauche
dans «n sens qui est en
harmonie avec l'orientation du ttiàdre de coordonnées.
Nous pourrons alors tracer sur la surface deux familles de courbes telles que
. où le paramètre « varie senl . où le paramètre {'• varie seul
ces paramètres a et p peuvent servir à définir sans ambiguïté un point de la snrfa,ce.
Nous supposerons que a croit dans ie sens 1 2 et que P croît dans le sens
2 3. Ceci posé, envisageons l'intégrale de surface :
étendue à la portion de surface limitée par la courbe G, Q« désignant la projection de la rotation moyenne D sur la normale orientée à l'élément (iw.
On a donc par détinilion
i78 THÉORÈHK d'd.\NKEL.
fdw di-\ i'chi dm \
Or ou ■v'édfi.e sans peine que âa el d[i claiit positifs comme db), on aura :
, fd.v du dJe d!/\ , ,„
""'"("■ ^) = [j, if -^ £)<''''?
(dy dz du dz\ ^ ^, d.. cos (n. ^) = (^^^ ^p - ^p ^^j rf* d{i
{dz dx. dz dx\
On déduit de là, eu ordoiinanL par rupporl aux dérivées des fonctions respectives u, v, ta.
' ^ I I I U Ce -i? - r, r.) - 5 (,c n; - i;, ï!) J "" ■'?
+ f I [jx \jh <i - <i> <rj - ,h Ir^. ;(;i ^ ,7,^ ,7^ jj ''- ''.^
Les termes en -,- eL -j- de la première intégrale du
second membre peuvent s''écrire
d.r rdu dz .dn^dy^ dx V'du^ <^ i ^' ^~1
ïï"li [Tz Ih.'^dx daj ~ "dà \jïz û^ ~^ dy tipj
aniPS LEFOUMABLl'^S. 17'J
ou encore
i;p 1, <lx iS "■' dij da "*" (te d%i di Idx dli "'" dij il\i '^ du d'fiX
OU enfin
dx du dw du
celte dilïércnce peut d'ailleurs encore s'écrire d r dx'\ d r dx~\
di l" '# J ~ ''p L" ^^- J
or l'inlégralion par parLics donne
Pj, p4 désigne les valeurs des paramètres des courbes tangentes à la courbe 0, sur lesquelles [i varie seul.
Mais l'intégrale du second membre peut évidemment être remplacée par l'intégrale curviligne
prise le long de la courbe G.
Un calcul analogue donnera :
-//|[»ÏJ"-^=/«f"-
la portion considérée de l'iiilégrale J sera donc
180 riioi'iuihÉ uMs surfaci:;s touubillonnauœs.
on calculoi'a dn la même manière les deux autres intégrales doublcfi, cl l'on aura :
l'intégrale f{ndx + vili/ -j- wdt) relative à une courbe L
"i, quelconque porte le nom de flux relalif à celle ligne.
Le flux relatif à une courbe fermée G porte le nom de circiitation.
Remarque, — Si l'on a identiquement û ;=: 0, on aura aussi û„ = 0. En ce cas, l'intégrale
/ udx + vdy -\- wds
ne dépend que des extrémités du chemin L et non des points intermédiaires. Pour deux courbes L et L', termi- . nées aux mêmes extrémilés, on aura
f (iidx -\- vdy + wdz) = J {udœ 4- vdy -\- wd') 'l L'
Ceci suppose que les courbes L et L' réunies forment une courbe fermée sur laquelle on puisse jeter une surface, toute entière située dans le milieu en mouvement.
Cette condition, par exemple, cesserait d'être remplie pour un milieu qui n'occuperait que le volume d'un tore.
Nous supposerons dans la question suivante que les courbes L et L' restent dans une région telle que la condition précédente soit naturellement remplie.
CORl'S DÉFOllMABLKS. 181
On peut alors se poser la queslion suivante : Sur quelle surface doiL-on virkiellcmenl déplacer le point géomélriciLie [x, y, z) pour que, sur cetLe surface, l'expression udx -^ vdij -{- luds devienne une difi'ércnlielle exacte d'une fonction de deux variables indépendantes.
Soient a et ^ les paramètres qui fixent la position du point M [(o,y,z) sur cette surface; la condition, pour qu'il en soit ainsi, sera évidemment :
Le calcul du théorème précédent fait dans l'ordre inverse montre alors qu'on aura :
V '-'.y ilzj \da. d<^ di^ d<i.J ' \d3 dx)\d-j. dp di-, d-i. ) + \dx dy) \dy. ((fi d'i di.) ~
et cette équation exprime que la relation moyenne û est dans le plan tangent k la surface considérée; en d'autres termes cette surface est un lieu de courbes tourbillonnai rcs ; nous l'appellerons une surface tourbillonnaire.
Soient ii, v, mj trois fonctions quelconques des trois variables X, i/,s : représentant, nous pouvons le supposer, les composantes d'une vitesse d'un point d'un milieu; soient i]j = consi', une famille de surfaces tourbillonnaires, et « ~ consi", ^ = coî%sP, deux autres familles de surfaces, telles que a, p, ij-, puissent être envisagées comme coordonnées curvilignes du point M {x, y, =).
X, y, z étant exprimés en «, p, •\.
tidx + vdy + wdz devient une expression de la forme
yGoosle
iH'À DERIVEK OU l'LUX.
Par hypothèse, si on fait ■}- = consf^, kd% 4- Bf^P devient la difEércnlielle exacte d'une fonction ? où 'J^ joue le rôle de paramètre.
On pourra donc écrire :
k'Jy. + Udd -- do — Vt d'I On aura donc :
uOx + va(/ -f- lyfij = do -p ( t^ ~ y- ) '^'î'
en posant G — ~ = m
On aura cntin :
ïiâx -f- utiy + wî'f2 ~ d^ + md\
')f — consi' et m = coHs(f seront alors deux familles de surfaces tourbillonnaires, d'après la remarque précédente.
Gelte remarque a été utilisée par Clebsch pour diriger l'intégration des équations de l'hydrodynamique comme on le verra plus loin.
Variation Considérons le milieu Po en mouvement et occupant aux
dans le temps "^poques t„ et î, les positions P„, P,; soient L,, et L, les deux
positions d'une ligne physique L envisagée aux deux époques.
Considérons le flux Fl [t) relatif à la courbe L et à
l'époque t, c'est-à-dire l'intégrale curviligne :
l'Y 0) =f{uisc + vày + wàz)
S désignant des variations relatives au milieu envisagé à une même époque t nous désignerons par d les variations relatives à des quantités altachces à un môme point physique.
CORPS DÉFORMABLKS. lod
La dérivée du flux sera dès lors :
iW dt' dl léralion/; posons alors
Ou .
dl ~^' dv
Et la rclalion obtenue s'écrira :
= I OV3a;+i,,3y-i-j.S.)-hT,--p
T, et To se rapportant aux extrémités de la courbe Li.
Supposons que la courbe L devienne une courbe fermée 0, toute entière située dans le milieu, et telle que la courbe G soit réduetible à un point par déformation continue sans quitter ie milieu. Lorsque le "volume occupé par le milieu jouit de celte propriété pour toutes les courbes C fermées qu'on y peut tracer, on dit que le volume considéré est simplement connexe.
En ce cas on aura T, =Tu.
Posons mainlcnaut :
104 ACCELtnATIOJI IIOTATOUIE.
" " tis dx:
dx dij
Los quanlitcs Q',„ 0\, O', seront les prnjeclions d'un vecteur 0' que nous appellerons l'accélération rotatoire.
L'intégrale curviligne relalive à la courbe fermée peut alors être remplacée par l'intégrale de surface :
.yir„„
l'intégrale étant relative à une surface fermée s'appuyaiit suc le contour C.
Cette circonstance se présente notamment lorsque II désignant une fonction bien déterminée on a :
~ dy
On dit en ce cas qtiil existe une fonction des accélérations. Nous supposons, dans ce qui va suivre, que cette condition soit réalisée.
COUPS rÉfORMABLi;s. 18li
D'ailleurs, dans le cas général, on peut jeter sur la courbe C une surface donnée; en coosidcrant cette suri'ace physique on a :
Ih'^^r-;^
c'esl-à-dive :
La dérivée par rapport au temps de l'intensité towbillonnaire relative à une aire pkysique fermée est égale à rintejisité de l'accélération rotatoîre relative à la même surface; dans l'hypothèse particulière d'une fonction des accélérations cette dernière est nulle.
On a donc ainsi en ce cas :
et par suite :
lu d'-i — t[iii<ilaiii(!
Voici plusieurs conséquences remarquables.
Supposons que l'on ait à une époque initiale t„
(iiy). ^
on aura constamment :
fii.di.^ =:
et comme ceci a lieu quelle que soit l'étendue de la surface on conclut ;
Tliéorème de Lagraiigo.
lob THEORÈJIl! Di: LAGHANClï.
et comme l'orieiitalioii de la surface est arbitraire on concluera
u ^ il toute Époque
donc, enfin, si
est une différentielle exacte à l'époque i^
sera différentielle exacte à toute époque : c'est le théorème de Lagrange.
Thûorcme Considérons une courbe C tracée sur une surface tourbil-
sénéraiis^ lonuaire à l'origine; on a à l'origine ('^j^^^^ sur toute celte surface.
On aura donc dans tout le champ à toute époque l
et le champ étant arbitraire
Donc si nnc surface phydqup. es/, loiirhillonnaiye h l'origine elle restera toujours tourl)illonnairc,
Corollaire. Lgg lignes tourbillonnai res intersections de deux surfaces physiques seront aussi des lignes physiques.
