II

CORPS DEFOI

Si donc P, = Q; = B, = on aura :

Mais U, est une forme homogène et linéaire, donc

quels que soient les \, i\, C- Donc, dans ce cas, l'on aura :

&y et pi pi' seront deux formes quadratiques par rapport aux a et p; cette forme à 6 variables aura

I/expression TJ qui dépend de p^ sera une combinaison linéaire des sis polynômes n.

L'ensemble des 3 derniers termes de la formule (2) relative à l'élément if dépendra donc de 27 coedicients; les 6 coefficients de la combinaison linéaire des polynômes n sont d'ailleurs les mêmes au facteur \ près que ceux de la forme linéaire des « et P; les 27 coefficients se réduiront donc à 21 quand les forces extérieures sont nulles dans le premier état d'équiliLre.

200 lUÏDlJCTlOKS PABTlCliLiÈÏILS.

Celte hypothèse n'est pas toujours admissible (exemple : cas d'un gaz). L'hypollièse des forces centrales adoptée par Gauchy cl Poisson réduit encore le nombre de 21 coefficients des a et ^ dans la forme quadratique de ces quantités qui coïncide avec les deux derniers termes de la formule (2) appliquée à l'élément At.

En effet, dans le cas des forces centrales mutuelles, la fonction F est é-videmment de la fovme

't(it) + ?,ffO+.,.

et par suite

Nous n'avons alors à considérer que la somme

relative au volume i^-

p, est une forme linéaire (S) des a et p; les coefficients de cette forme ne dépendent que des trois quantités Hx, Dy, Ds.

pL^ sera donc une forme quadratique des « et p dont 21 des coefficieiits seront unis par 21 — 3 — '18 relations.

Celles de ces relations qui sont linéaires et liomogciies persisteront dans la forme quadratique (par rapport aux X et <}).

Qr, dans pi% on aura évidemment

i coefficient de 2 ai a^ = coefficient de ^î coefQcient de 2 pi |Ï2 = coefficient de 2 1x3 p:, etc.

CORl'S DÉFOBMADLES.

Les relations de ce type sont au nombre de 6, elles sont linéaires et on peut démontrer qu'il n'y en a point d'autres linéaires.

Les 21 coefficients de la forme considérée sont donc réductibles à 15 d'entre eux.

En résumé, la somme étendue au volume iir

est privée de son premier terme (combinaisons linéaires des n) lorsque les forces extérieures sont nulles dans l'état d'équilibre nalurel.

Elle est privée de son troisième terme lorsque les forces sont centrales.

Et enfin le terme moyen qui subsiste seul, quand les deux hypothèses précédentes sont réunies, dépend de iS coefficienis arbitraires.

Les 27 coefficients généraux se réduisent donc à 21 dans deux hypothèses distinctes et à 15 lorsque ces hypothèses sont associées.

Si eu chaque point d'un corps quelconque, il n'existe Corps isotropes, pas de différence entre les diverses directions émanant de ce point, au point de vue des propriétés physiques, le corps considéré est dit isotrope.

Pour voir comment se simplifie la fonction U pour les corps isotropes nous résoudrons d'abord la question suivante :

Quels sont les polynômes homogènes du second degré par

COEPS ISOTKOPES.

fonctions l, -n, K, qui jouissent de la propriété d'être invariants à l'égard de l'orientation dti trièdre de coordonnées.. Nous avons déjà vu dans la cinématique des déformations que les dilatations pi-încipales Si Sa Ss sont les racines de réqualion

d'oii l'on déduit c[ue les coefficients des puissances 2, 1 et de 5 dans l'équalion précédente développée sont des invariants; ces coefficients alternalivement chargés de signe sont

A, = 2 (ïi + :t, -]- Ka) =: = dilatation cubique

h pi 2 et,

la considération de A, et A^ nous donne de suiie deux polynômes isotropes du second degré.

Savoir :

un troisième nous sera donné par le carré de la rotation moyenne /j^ + 9* + r^ ~ B

, AU, djÇ^' -\dH dxJ

yGoosle

COUPS DÉFORMACLËH. 203

toutes ces sommes s qu'on 716111 d'écrire sont des sommes de trois termes dont nn seul est écrit, les deux autres termes dérivent de celui-ci par la permutation circulaire effectuée simulttincnient sur les groupes de lettres corres-

Aux polynômes isotropes précédents on peut associer le polynôme C déduit des précédents.