Idxd-u dy'dxj

Existe-t-il d'autres polynômes isotropes non réductibles aux trois précédents î

A cet effet observons d'abord que si on change le sens des axes, l, vi, ^, x, y, z changent de signe, ce qui ne modifie aucune des dérivées.

Si l'on fait faire au système d'axes un demi-tour autour de l'axe z, x, y, %, i\ deviennent négatifs, ni z ni x, se changent.

On peut dans cette remarque permuter les lettres. D'où on voit que tout polynôme homogène isotrope du second degré conliendra des termes des types suivants

( .- J , et les termes dérivés par punnutalloii

dx dy '

\d!iJ

204 COUPS isOTKOPES,

Le rôle des axes pouvant êlre échangé, on voit que lous les termes d'un même groupe auront môme coefficient.

Tous les polynômes isotropes seront doue des combinaisons linéaires des polynômes symétriques

W -K/hJ' ~[,\dyJ ^\dxJ J -'dxdf ^ dy dx

S'il existait plus de trois polynômes isoiropca linéairement indépendants, les quatre sommes (6) seraient des polynômes isotropes.

Or une rotation de r contour de l'axe de s montre netlcment que la somme

ne se transforme pas en elle-même par ce déplacement des axes.

Il n'y a doue que 3 polynOmcs isotropes distincis : e-, A,, 4 B.

On a déjà formé au moyen de coux-ci la combinaison linéaire

\j j- .iJS ^, / d l dr^ dl t/rA ~" 4 ' \dx dij dy dxj

En voiei deux autres remarquablement simples aussi; d'abord celle-ci :

02 A, H- ^ c = n.,,, 4- n„, -f ii,,

puis une autre qu'on obtient en partant de l'identité

COnrS DÉFORMABLIiS. 205

Oti tire de la défiiiiUon de B'

4B + rj,= + [i.^ -|- fi;- = n^^ + n„ + ri^=

d'où on Yoit que le polynôme

u^., + ,f + ., + il+Jl+il

est isotrope.

Nous prendrons pour polynùmcs isotropes indépendants :

B^ H, et n^^ + n,;„ + II,,

La fonction des forces raoléculaireË relalîve à l'élément de volume i-r sera donc nécessairemonl pour un corps isotrope do la forme :

(7) at [yo i I' - a 11 H- V (n,,, + n,„ + iL^I

les n étant définis plus haut (équation 5).

est en effet le seul polynôme isotrope du î"' degré. Avant d'étudier les coefficients ■;, X, n, v, démontrons quelques théorèmes généraux.

Théorème I, — Si les a et les p sont nuls dans totile la masse du corps, il n'/j apas de déformation proprement dite, mais k corps se déplace à la manière d'un solide invariable.

d06 coiii's isothoi'Es.

Supposons en effet que l'on ait :

dx liij ai ii'j dx

di.tix ' dijfix it. , K

ces équations donneiil immédialement

(i^(/a dijdx dzdij

et par suite X„ Y;, Z;, désignant des fonctions respectives de X sculj de y soûl, de s seul on aura :

en ayant égard maiulcuanL aux relations

On ti'ouve enfin :

Ces formules expriment que le corps s'est déplacé sans se déformer après avoir subi une translation {ç„, -r^^, Q el une rotalion {po, q^, r^.

Théorème il. — Une même forme quadratique des neuf

que d'une seule manière en une forme quadratique des a el des ^ et en une forme linéaire des six polynômes n ; (équations 5, page 198).

Tout d'abord, s'il existait deux modes de décomposition non identiques, en les égalant on aurait une relation d'où les polynômes n ne pourraient pas disparaître d'eux-mêmes, sans quoi on aurait une relation entre les a et fi iiui sont évidemment arbitraires.

Supposons donc pour un moment qu'il y ait une relation

linéaire entre les II et les a et les p; les ',- -;- y- étant ' dx dy dz

regardés commes des arbitraires, faisons les a et les fi nuls, la relation en question subsisterait entre les II particularisés, d'après la remarque précédente; mais les a et p étant nuls, ^. fi' ^ ont d'après le théorème précédent la forme (8), or on trouve dans ce cas

n„. = rj + q,^ n^- P.^ + '■;, n== = (qo' + î>„=)

ih,j= — P'"l<n 1!!,;= — (Jo/'o, l'i=x= — p^r„

la relation entre les n se traduirait par l'égalité à zéro

208 fiOlIPii ISOTllOPES,

d'une forme quadratique des p^, q^, r^, mais ces quanlilés sont arbitraires et la conclusion serait absurde.

Donc, la forme quadratique des neuf dérivés considérés, ne comporte qu'un seul mode de décomposition en deux groupes de l'espèce indiquée. C. Q. F. D.

Relations Une comparaison déjà faite entre les coefficients des

des coefficients polyûômcs II et ccus dc la formo linéaire des a et p qui 1. 1, fi, V. figurent dans le développement, de la fonction des forces moléculaires donne

quand les forces sont centrales, la forme quadratique des a et p doit présenter les particularités signalées plus haut, et l'on doit avoir six relations des types suivants :

cocOideiit lie 5 a; «j — cocfficitiiil de [ijcoei'Iiciciil (le 2 ^i f:^;;; coefficient '\r: S^iî^n

Les relations du second type sont ici satisfaites d'ellesmêmes par des valeurs nulles des coefficients considérés.

Les relations du premier type se réduisent à la relation unique :

Si les forces extérieures sont nulles dans l'état d'équilibre naturel, on aura en ce cas y = v-0.

Ainsi pour les corps isotropes les 27 coefficients se réduisent à trois )., •>., v (y = 2v).

Si les forces extérieures sont nulles dans l'état d'équilibre naturel, les trois coefficients se réduisent à deux (v = y=0).

CORPS DÉFOUMABLKS. 209

Si les forces sont centrales, les trois coefficients se réduisent encore à deux {X = {/.).

Si les deux hypothèses sont faites siuiullanémenl, les trois coefhcients se réduisent à mi.

Si les corps isotropes considérés sont en outre homogènes, les coefficients considérés sont constants à l'intérieur du corps.

Équations de l'équilibre élastique.

Regardons un corps élastique comme un assemblage de particules libres, et convenons d'assimiler la fonction des forces moléculaires sWi-r à une intégrale de volume ["^ix. Cette assimilation du continu physique et du continu mathématique prête le flanc à de très graves objeclions; mais nous passerons outre, et nous reviendrons de fait à la conception de la matière continue.

— Soit d-: un élément do volume, G son centre de gravité.

Les forces extérieures appliquées aux diverses parties de cet élément peuvent être, réduites à une résultante de translation passant par le centre de gravité G et à un couple.

Cette composition dos forces suppose rigidifiée la partie du corps située dans le volume dr, on rétablit la liaison moléculaire en imaginant que la partie extérieure du corps élastique réagit par Ae.?s pressions sur la surface de l'élément de volume dt.

On peut parvenir à la considération de l'équilibre élastique par quelques hypothèses extrêmement générales faites sur ces réactions ou pressions.

Ce n'est pas la méthode que nous suivrons, mais je veux seulement présenter à ce sujet une remarque.

COUPS DÉFOIIMAM.ES. 211

Les forces extérieures (pesanteur et forces analogues) se réduisent à une résultante de l'ordre de dt ou du troisième ordre infinilésimal, passant par G, et à un couple du cinquième ordre ayant un axe passant par G; les pressions sont des forces qui s'exercent sur l'étendue de la surface de rir, et elles se groupent par forces du second ordre; pour que leur résiiUanle de translation soit du troisième ordre seulement elles doivent remplir certaines conditions de continuité; tel est le point de départ de la méthode de la rigidification qui sert de base à la théorie élémentaire de riiydrostalique et que je me contente d'indiquer.

— Pour former les équations de l'équilibre élastique nous allons appliquer à l'assemblage des volumes libres dx le théorème du travail virtuel.

Pour la facilité du cakid, nous nous donnerons les forces dans les deux états du corps d'une manière toute particulière et qu'il importe de bien préciser.

L'élément (Ît est défini comme tel dans le premier état

d'équilibre, celui que nous avons appelé équilibre naturel.

Nous désignons par Xiiii:, Yidr, Zidi: les composantes de la

force EXTÉRIEURE appliquée à l'élément de volume dans le

premier état.

Dans le second état d'équilibre, nous désignons la force extérieure rapportée toujours à l'élément de volume envisagé dans son premier état par

Nous considérerons aussi des pressions données e sur la surface limite du corps; chacune de ces pressions

2i3 ÉQTIlIlIiUK l'iLASTlQUE'.

cst'rapporlée à un élémoni. (?<■> de la surface, envisage dans le premier état.

\'\rdv> \\:,lli^ Pi.t/cu

sont ks composantes des pressions sur dw dans le premier état. (Pi. + P.0 '^^■' f^tc.

sonl les composantes des pressions exercées dans le second étal sur l'élément qui était primitivement rfw. Nous poserons d'ailleurs

!',. — r,, + W,,, ne:

L'équilibre contraint s'exprimera par le théorème du travail virtuel; S désignant les variations virtuelles et /WrfT désignant toujours la fonction des forces moléculaires on aura :

(8) ' a I /W Jt +/(X5"; J- Yor. H- ZSO''^ -VffS'^'l H- Wfi-'. + P.5C) rf.>] -

On a, d'ailleurs, d'après les explicalione qui prcccdont, ûrfr = Uu> —

W est la somme d'une forme linéaire des a et [i et d'une forme quadratique spéciale des neuf dérivées partielles du premier ordre des 3 fonctions l, ■,], 'C

1. On a coiiliiiué à numérolur les équations eo prolonjjeaat les auméros de la priicéclcule legon.

C0T\1'S DRFOFIMAT

Nous aurons

5 / W,fe= 1 (a

D'après une formule d'intégration géométriiiuc par parties déjà ulilisée dans la cinématique des déformations, on aura en désignant par /, m, n les cosinus, directeurs des angles que fait avec les axes de coordonnées la normale à l'élément du> dirigée vers l'extérieur de la surface.

On a, en remarquant que r, — i -f.

214 PRtSSIOfiS INTÉlllEUHES.

et deux autres formules analogues pour les fonctions Yj et î.

Les S-, 3y|, si; étant arbitraires nous égalerons à zéro les coefficients do 3;. Sf;, K, sous les intégrales dé(inies et noua aurons :

1 '^ ~ <li ilj

(9) v-tâl-f-

z'iir i!r

et à la s

urfacc du corps

La forme des équations (9) et (10) montre que si on isole à l'intérieur du corps une surface fermée et si on considère l'équilibre moléculaire de ce corps fictif, cette portion du corps serait encore en équilibre sous l'action des forces extérieures primitivement données pourvu que sur la nouvelle surface ou exerçât des pressions élémentaires dont l'intensité, par unité de surface, aurait pour composantes suivant les axes les quantités respectives

— A'/ — B'm — Cm

— A"; — B'^w — C'ft

on est ainsi conduit par le calcul lui-même à la nolion dos pressions intérieures.

COBPS CÉFORMABLES. 215

— Les équations (9) sont des équations aux dérivées partielles du premier ordre par rapport aux trois fonctions inconnues l, fi, ï, aux variables x, y, s. Lorsque les forces X, y, Z sont connues dans toute la masse et que les pressions sont connues à la surface, l'intégration du système (9) avec les conditions aux limites (10) fera connaitre les déformations.

Il est naturel de so demander 1° si la résolution des équalions (9) et (iO) est toujours possible; 2" si elle est possible d'une seule manière.

Il est aisé de répondre à la seconde question, du moins lorsqu'on suppose que la portion quadratique de W est une forme défini*: dans toute la masse du corps, c'est-à-dire incapable de s'annuler pour des valeurs des variables différentes de zéro.

En effet, s'il existait deux solutions de l'équilibre élastique :

1" solution : J,, ï,,, Ci.

2" solution : £i, Yji, !;,.

correspondant à un même système de forces intérieures et de pressions superficielles, la forme linéaire des équations (9) et (10) montre que ces équations seraient satisfaites en faisant :

X = Y = Z = U à l'intérieur

p^ — 1^,, - p. = à la surface

mais alors les équations correspondantes expriment que : Wj désiguant la partie quadratique de W.

IIIMKS T) EXISTENCK.

Or. en feisanl s^, s-/|, 5:;, respectivement proportionnels à ^, ïi/C, en trouve que S W^ est proportionnel à 2 W^ et l'intégrale nulle

/SWî rfT

aurait tous ses élémenls de même signe, ce qui est absurde à moins que ?, ï], ï ne soient nuls, c'est-à-dire à moins que l'on ait

\i~'~u ■',i~-'iJ, ti~U fl'iiis lûut ie covps.

Si la solution existe elle est donc unique. Quant à la première question, elle se présente sous diverses formes dans tous les problèmes de Physique Mathémalique.

La question de l'existence des intégrales des équalions aux dérivées, partielles du second ordre d'oii dépendent la distribution de la déformation élastique, la disLribulion éleclrique et celle de la chaleur n'iuLéresse les physiciens que dans la mesure où les théorèmes d'existence peuvent conduire à des calculs pratiques pour la détermination des fonctions physiques inconnues; car les physiciens ne mettent pas en doute l'existence de la solution.

Mais ces théorèmes d'existence intéressent les mathématiciens purs qui, suivant l'expression pittoresque de Jacobi, tiennent, pour l'hormeur de l'esprit humain, à les établir en toute rigueur.

Ces théorèmes d'existence dont le fameux principe de Dirichlet est l'un des plus simples présentent des difficultés particulières; ils ont fait l'objet d'études de plusieurs géomètres, au premier rang desquels il faut citer : Schwarz, Neumann, Poincaré, Picard.

CORPS DftFOnSlABLES. il"

Eûyisagéa du point de vue de la coiiUnuitc physique, ces théorèmes paraissent presque évidents, mais l'évidence présumée s'évanouit dès qu'on quitte le domaine de la continuité physique et qu''on se cantonne dans le domaine de la continuité mathématique.

L'exposé des recherches modernes relatives aux théorèmes d'exislence est tout à fait en dehors du cadre de ces leçons.

Je dirai seulement quelques mots de la manière dont la méthode des variations a permis de pressentir, mais non de démontrer ces théorèmes d'existence.

Prenons pour exemple le principe de Dirichlet.

Ce principe affirme l'existence d'une fonction V à l'intérieur d'un certain domaine continu à l'intérieur duquel elle satisfait identiquement à l'équation de Laplace :

dx^^ Ôf^ >iz'-

et la fonction V est déhnie dans tout le domaine dès qu'elle est définie aux divers points de la frontière de ce domaine. Considérons l'ensetnble de totites les fonctions U assujetties à prendre des valeurs données aux divers points de la surface frontière du domaine D et considérons l'intégrale de volume J étendue au domaine D donné :

m-(Ëî-my^

les valeurs de ces intégrales forment un ensemble de nombres positifs N.

218 INDICATIONS DD CALCrL DES VAnlATlOSfi.

A cet cuserablc, on peut associer, comme on sait, un nombre m nul ou positif, tel que l'on ait

mais tel aussi qa'a iout nombre e, si pelit soit-il, on pourra associer une intégrale J supérieure à ru + t.

Ce nombre e porte le nom de limite inférieure, ou mieux encore, de sous-minimum des nombres N.

Si une intétjmle particulière et par scite une fonctiou Uo exisle, qui satisfasse à la condition;

tout en respectant les conditions auxquelles les U sont assujetties, le sous- minimum atteint porte le nom de minimum. La variation de la fonction Uo étant SU, est nulle par iijpotlièse sur la surface et l'intégration géométrique par parties de la variation de SJ„ donnant aisément

On voit que si l'on n'avait pas

dni ir-[\ (i=u„

on pourrait choisir ùU de manière à faire :

COUPS DÉFOnlIABLtS. 219

Oii conclut de là que la foiiclion Uô doit satisfaire à Téqualion (11) et par suite qu'elle est la foucLion V cherchée.

Ce raisouneraent, dont on s'est longtemps contente, réclame le postulat que voici :

1" Le sous-minimum est supposé se réduire à un minimum.

EL, jusqu'à présent, la légilimilô do ce postulai n'a pu être établie.

Aussi, jusqu'à nouvel ordre du moins, on semble avoir renoncé à exiger de la méthode des variations plus que ce simple aperçu, et l'on a demandé à diverses méthodes d'approximations successives la solution du problème de Dirichlet.

Sur la distribution des pressions actuelles.

(Rappoctiîoi aux éléments actuels.)

Je désignerai par ir la pression exercée sur l'élément acluel intérieur dui^ provenant des actions transmises à cet élément parla partie du corps qui est siluée par rapport à l'élément du côté de la normale orientée v; rien n'empêche de supposer que les deux états d'équilibre naturel et contraints coïncident.

Les équations (iO)' donnent dans ce cas parlicnlier :

uf = ~ 1!

ii; ^= - B-

ii;==-c-

I!Ï = — li"

et les équations (10) deviennent alors, en nommant o les cosinus directeurs de la direction y :

I n, — aiu-|- fin;;-)- yo;

11^ = «n^+ lin!; + fiij

j II' — «n! + pnï + -/II'