INTRODUCTION

L'idée de soustraire la Mécanique à l'imitile principe de l'inertie fut, je crois, émise pour la première fois par Reech.

J'ai repris l'idée de ce profond et regretté mécanicien, en l'élargissant un peu et, dans ces u Leçons » Je montre comment le principe fondamental de la dynamique, hidépendant des repères géométriques du mouvement, est dans utie dépendance très atténuée vis-à-vis de l'horloge qui enregistre les motivements.

L'idée si heureuse et si simple de Reech consiste à 'pTcndre comme élément cinématique de la dynamique, non pas l'accélération, mais une variation d'accélération ; yWojoie entièrement ce point de vue de Reech, mais je me sépare complètement de cet auteur dans l'appréciation du principe de 'd'Â lembert.

Iteech regardait ce principe comme superflu, or je l'envisaffe comme l'indispensable appui de sa conception des trois éléments essentiels à la inatière en 7nouvement : la force, la masse, les liaisons.

Le progrès réalisé par l'Ecole noîwelle dans la doctrine de la Mécanique rationnelle me paraît incontestable et je ne doute pas que l'école notivelle ne devienne à son tonr l'école classique.

On peut se demander pou?'qtfoi l'idée si simple de Reech ne s'est pas présentée aux immortels fondateurs de la Mécanique : Galilée et Neioton?

C'est d'abord que la notion de l'espace absolu ne leur répugnait pas.

C'est ensuite que, la Mécanique débutant par un éclatant triomphe dans le ciel, constitua d abord la mécanique céleste ; rhistoire même de la science lui donnait une ailuro astronomique dont elle se ressent encore.

Et puis, qti' importait alors aux fondateurs une légère faute de grammaire!

La science qit'ih fo?idaient devinait du premier coup un ciel assoupli à des lois simples — un système solaire visible, infiniment inoins complexe certes, qu'une molécule.

N'était-il pas tout naturel alors d'espérer pour le monde molécidaire une loi aussi simple que la loi de l'attraction'! On sait de quelle déception cette attente fût suivie; peutêtre pareil espoir renaîlra-t-H, sous une nouvelle forme, le

]oiir où uni! réelle synthéie des sciences physiques sera possible. En allendaiit, tandis que, dans un désordre appai-ent, s'amasse la riche moisson des faits, l'esprit humain de loisir, exerce son seiis critique et surveille sa propre logique. De là sans dotite la tardive apparition de l'école noiioelle inaugurée par Heech.

Dans la première partie de ces m Leçons » j'expose d'abord l'œuvre des fondateurs; je décns l'École classique et l'Ecole nouvelle, et, après avoir opté pour celle-ci je. la montre aux prises avec quelques problèmes parmi lesquels je mentionnerai ici : les propriétés des systèmes isolés, — les commentaires sur la chute du chat, — la détermination de l'orientation absolue par la lecture d'une horloge absolue et par l'observation des seuls mouvements intérieurs da système isolé : problème dont la détermination du plan invariable n'est qu'un cas particulier.

La deuxième et la troisième partie de ces Leçons sont consacrées à la mécanique des corps déformablcs et aux éléments de la science du constructeur.

Dans cette partie didactique de l'oueraqe. les « Lerons sur l'élasticité n de M, H. Poincaré, la Statique graphique de M. Maurice Lévy et ses leçons au Collège de France ont été mes guides principaux.

INTRODliCTION.

Les qui'Àqiies noies gui terminent ce voliime traitent des questions de mécanique et de géométrie, inêlées.

Je signalerai particulièrement la note sur « la statique non euclidienne ». Daiis cette note je fais voir comment la réduction des systèmes de vecteurs, et la notion de leurs groupes d'équivalence forment la source itnmédiate des propriétés métriques et de la bifurcation des géomélries de Lobatchewshy , d'Euclide et de Riemanji.

Depuis la rédactioJi de cette note j'ai appris, par le savant M. Mansion, qu'une mécanique non euclidienne a déjà fait l'objet des travaux de M. de Tilly, qui, jyarait-il, a publié sur ce sujet il y a plus de vingt ans un liv?-e nïalkeureusement fort rare.

Il est donc certain que j'ai dHi, sans le savoir, me rencontrer sîtr plusieurs points avec le savant belge; je crois néanmoins gtie ma méthode qui généralise la Réduction de Poinsot et le théorème du travail virtuel pow en faire sortir avec une égale facilité les foi-mules de Lobatchetvsky et de Riemann, intéressera les géomètres. :■''

Je dois encore à l'inépuisable érudition de M. Mansion un renseigjiement blhliographique bien curieux signalé par M. Genocchi :

Il parait que, bien avant Potssott, fut donnée à Turin, la dèmonstratioji analytique de la composition des forces con~

courantes par l'emploi de l'équation fonctionnelle connue sous le nom d'équation de Poisson; l'auteur anonyme avait même fait cette remarque que la méthode est indépendaule du postulatum d'Euclide.

Or cette remarque qui s'étend d'elle-même à la trigonométrie sphérique est notablement antérieure à Lobatchewsky . Qui l'a faite?

Son anonyme auteur publia à Turin tant qm: Lagrmige vécut dans cette ville, mais après le départ de Lagrange, il ne donna plus signe de vie.

Serait-ce Lagrange lui-même ?

Quoi qu'il en soit, la remarque de l'auteur anonyme contenait le germe des deux géométries non euclidiennes.

Depuis Lobatcheiosky la possibiiilé des géométries non euclidiennes a été nettem.ent indiquée en d'élégantes transformatio7ïs de figures par Klein.

Mais la notion « de groupe » pénètre bien phts profondément encore au cœur de la géométrie.

MM. Poincaré et S. Lie ont développé celte notion appliquée à la genèse des premiers principes de la géométrie sous une forme analytique ; Je veux indiquer brièvement ici comment, sans sortir du domaine concret, la géométrie pitre pa-rvient très simplement à effectuer sa propre analyse.

I. — Le théorème d'Eider, relatif aux rotations finies [théorème non euclidien) , montre aisément que les vecteurs regardés comme représentant les vitesses de rotations possibles sont

VI INTUOnilCTlOM.

toujours composabîes lorsqu'ils sont concourants, et que, àaiis tous les cas, il est possible, d'un': infinité de manières, de rédttire un ensemble de vecteurs à ïin ensemble ôfjuivalent.

Rappelons d'abord le sens des mots composEibles et équivalents.

Composable signifie que, j^ovr des vecteurs concourants, il existe tine opération de composition [désignons-la, pour abréger, par -j-) qui jouit des propriétés suivantes, — l'opération est :

1" Committative :

A 4- !i = i! -j- A 2° Associative :

3" Invariante, c'est-à-dire ne dépendant que de lu conflguration intrinsèque des vecteurs composants.

4" Continue.

5" Jiéductible à l'addition algébrique des segments lor<qu<i les vecteurs ont même ligne d'action.

Deux systèmes S et T de vecteurs sont dits équivaleuls, S( l'on petit passer de l'un à l'autre par l' adjonction ou la suppression de paires de vecteurs égaux et contraires portés par une même droite et par la composition ou la décomposition de vecteurs concourants.

L'emploi de l'équation fonctionnelle de Poisson :

montre alors que la composition des vecteurs concourants, et la trigonométrie sphériqxie qui la traduit sont indépendantes du postiiIaLum d'Evdide.

II. — Voici comment la composition de vecteurs non concourants invite à choisir entre les géométries de Lobatchewsky , d'Enclide et de Biemann.

Si l'on recherche la loi de composition des vectetirs d'nn plan perpendiculaires à une même droite et dirigés d'tin mèjne côté de cette droite, on est encore conduit à l'équation fonctionnelle de Poisson, mais avec des conditions initiales différentes.

La fonction ç [x] est telle que la résidtante R de deux forces perpendiculaires à une même droite, de même intensité P et tirant dun même côté de cette droite, sera donnée par la formule :

n = 2 P ï. (iP)

dans laquelle x désigne la distance des points où les composantes coupent leur perpendiculaire commune.

La notion d'êqvivalence montre encore que, si x est le

■VIII liNTKODUCTlON.

côté opposé à l'angle aù/ti u d'un Irianffle rpctangle, dont le second awjU aigu est a, l'on aura :

Dans l'espace de Lobatcherosky on aura donc :

■K {x) désignant l'angle de parallélisme à distance x , et par suite, ici :

L'éguation de Poisson donne alors :

k désignant un mètre constant.

Vkypothèse ^ (a;) < 1 domierait la géométrie de Riemann, et l'hypothèse tp (œ) — 1 est euclidienne.

III. — J'ai montré que la réduction de Poinsot est, dans ses traits essentiels, commune aux trois géométries, et j'en déduis le théorème suivant :

« La condilion d'éqviilibre de plusieurs vecteurs sur un « corps rigide est, avec une signification non-euclidienne, " toujours fournie par le théorème du travail virtuel. »

Du théorème précédent j'ai tiré ce corollaire, qui généralise dans les trois t/éontt'tries un théorème bien connu de Statique:

(1 Une pression normale (constante par unité de surface), « uniformément répartie sur les éléments d'une surface " fermée rigide, constitue un système de forces eu équilibre. 1)

J'ai montré que ce théorème et son analogue dans le plan fournissent les propriétés métriques dans les trois qéométries spécialisées.

Certes il est assez curieux de voir la Statique de l'oinsol engendrer immédiatement les formides de Lobatche.wsky et de Riemann,

Saint-Quay, 4 septembre 1897.