L'ŒUVRE DKS FONDATEURS DE L'ASTRONOMIE ET DE LA MÉCANIOLE

1 repères du mouvement, l'horloge et le système de coordonnées. Application à l'astronomie.

On entend par système rigide un corps indéformable auquel on peut adjoindre tel autre corps indéformable que l'on voudra lier au premier par un assemblage invariable. Un système rigide peut être géométriquement représenté par trois droites perpendiculaires deux à deux.

Le déplacement d'un point par rapport à un système rigide en tant que la situation du point est définie, à chaque, instant de la diu-ée, conslilue le mouvement de ce point.

2 lUÎPfllUfS ItU MOl'VlîMr.NT,

Le mouvement esL donc une notion essentiellement relative, et subordonnée à deux repères : 1° le repère géométrique, ou système rigide de comparaison ; 2° le repère dans ia durée, ou Vhorloge.

On verra plus loin comment une hypothèse de physique généraie, connue sous le nom de w Principe de l'inerfie », fait intervenir un repère géométrique particulier et une horloge spéciale, auxquels on peut donner les noms respectifs d'espace absolu et A'horloge absohte.

Mais comme en réalité certaines notions de mécanique, et notamment les notions de l'équilibre et celles des efforts de liaisons, sont dans une large mesure indépendantes des repères du mouvement, nous regarderons d'abord le mouvement comme une chose essentiellement relalive, comportant deux repères arbitraires : le repère géométrique et l'horloge. Il y a une infmilé d'horloges admissibles ; si une horloge a marque le temps t et si une autre horloge a marque le temps o, i et o seront deux quantités variables et fonctions l'une de l'autre, assujetties à cette seule condition de varier toutes les deux dans le même sens ; leurs variations positives simultanées correspondront mi. futtir et leurs variations négatives simultanées correspondront aux époques

Nous serons amené à faire par la suite une autre hypothèse, sans laquelle les horloges considérées ne joueraient ensemble aucun rôle mécanique; nous supposerons qu'à chaque instant la dérivée -^ existe avec une valeur essentiellement finie et distincte de zéro.

Le système de coordonnées le plus apte à traduire l'addition géométrique des vecteurs est le système de coordonnées cartésiennes.

1 PONDiVTKdllS.

lie système rigide est représenté par les trois arêtes d'un trièdre trirectangle OK, OY, OZ et ia situation d'un point M par rapport à ce système, est défini par les projections du vecteur OM sur chacune des arêtes du ^

trièdre {(xxes de coordonnées). Ge& y'^

projections sont, bien entendu, fcg. i.

des droites di?-i<fées .el regardées comme positives ou négatives suivant que leurs .directions sont celles des arêtes respectives du trièdre ou celles de leurs prolongements. Le trièdre une fois constitué et nommé, on peut associer à l'ordre alphabétique de la permutation des lettres ^, y, z une " orientation du trièdre n.

Soient U, V, W, trois des lettres X, Y, Z énoncées dans un ordre qui dérive de l'ordre alphabétique par une permutation circulaire, imaginons une poupée d'Ampère couchée sur l'axe OU, les pieds en 0, ta tête vers U, et assistant à la rotation d'î(7i simple gtiadrant qui, effectuée autour de OU, amène l'axe OV en coïncidence avec l'axe OW.

Le sens de cette rotation, par rapport à la gauche ou à la droite de la poupée, est inaltéré par une permutation circulaire effectuée sur les ases choisis OU, OV, OW.

Dans le cas de la figure, la poupée voit la rotation considérée s'effectuer de sa droite vers sa j^auche.

Dans le cas delà nouvelle figure', où ZOX étant le plan du papier, l'axe OY vient en avant de la feuille, ia rotation est contraire et dirigée de gauche à droite. On dit que la

i DU MOUVKMENT.

tigare \ représente un système d'axes d'orientation directe, et la figure 2 un système d'axes d'orientation rétrograde. Un trièdre de coordonnées étant construit, son orientation définira le sens des vecteurs par lesquels on représente des rotations dans les formules. / ( Les trois coordonnées cartésiennes / d'an point, x, y, s, sont trois lon-

/ .^ gLicurs.

y I' y a souvent avantage (tel est le

î'''°- ^- cas en astronomie) à employer le sys-

tème de coordonnées sphériques; ici, une seule coordonnée est linéaire, et les deux autres coordonnées suffisent à représenter la perspective du point M sur une sphère.

Nous définirons de la manière suivante le système sphérique associé au trièdre OXYZ.

Adoptons l'axe des Z comme axe polaire, projetons le point M en m sur le point OXY et considérons le vecteur OM, sa direc- ■^ tion sera définie par l'angle XOM

compté dans le sens direct, toujours positif de 0" à 360°. Dans le plan ZOm, la direction du vecteur OM sera définie par l'angle ZOM, moindre que 180°, dont il faut faire tourner ZO vers Om pour rencontrer OM ; enfin, la troisième coordonnée est la dislance OM. Nous poserons XOM = œ — ansle méridien ZOM ^ = an^te polaire DM =^ !■ ^ distance

Le passage des coordonnées sphériques aux coordonnées

lES yOSDATEURS. «T

cartésiennes associées se fait au moyen des formules immédiates

/ X = r sin cos a (1) I y ^z: r sm li siii o

Considérons deux systèmes de coordonnées sphériques ayant un axe (OX, O'X') commun et une origine (0, ') commune , on aura r demeurant évidemment invariable

' = r eus '

d'antre part, il est aisé de passer du système cartésien OXYZ au système cartésien O'X'Ï'Z'.

Soit P la projection du point M sur le plan commun ZOY, ou Z O'Y', le vecteur OP est la somme géométrique des vecteurs OH' et iï'P aussi bien que des vecteurs OH et hP. Supposons que le système OXYZ, tournant autour de OX dans le sens direct d'un angle a, vienne se confondre avec le système O'X'Y'Z', ou aura, par le, théorème des projections :

1" en projetant sur l'axe OY' 2° en projetant sur OZ' les coordonnées -r.' et x sont d'ailleurs égales;

6 REPERES Ut) MOrVKMEM'.

ainsi, on a, pour la transformation des coordonnées cariésiennes considéréeR,

('^) y' = 1/ cos a + 3 siii a 1 z' = — )/ siu K -|-'ï cos H

en ayant égard aux formules (1) et (2), on aura donc, pour relier les deus systèmes de coordonnées sphériques, les relations suivantes, d'où r a disparu

' sintf' = sin sin ffi €0s a -f casû cos a ' = — siii sin tp sin 0, -]-

s cos a

équations qui, évidemment, ne doivent compter que pour 2 distinctes, mais qu'il est néanmoins avantageux de conserver.

Les formules (4), d'un usage continuel en astronomie, renferment aussi les formules ordinaires de la trigonomôtrie sphéfique.

■* Soient, en efï'et, A, G, G' ^, les pers-

pectives centrales des points X, Z, Z', M, sur une sphère quelconque de centre 0, joignons ces points par de grands

Les angles ip' et a seront représentés sur cette sphère comme l'indique la fignrc ci-contre, et l'on aura

,, C'y. 1=6'; Ca = 9 CC'r^a

En identifiant le triangle CG'(j. avec le triangle sphérique A„B„Go, dont les élé- '^•' raents sont représentés avec la notation habituelle par A, B, G, «, 6, c, on aura

et les veialioiis [i] s'écriroiil, :

c sin B =siii b siii C

5 B =^ sia a coa b — ain b cos a tos C

s c = cos a cos 6 -|" *'" " ^'i^ ^ '^'^^ '^

donnant ainsi les formules fondamen Laies de la trigonométrie sphérique.

Le système de coordonnées qui se présente tout d'aijord est le système même qui en chaque lieu du globe porte nos édifices, c'est le système de coordonnées de l'écorce terrestre.

Mais dès qu'il s'agit de décrire les mouvements des astres, un tout autre système de coordonnées s'impose.

Les étoiles proprement dites jouent ici un rôle infiniment précieux ; e/ràce à leur immense éloignement du système solaire, elles conslituent, depuis les âges les plus reculés, un ensemble de signaux lumineux que l'astronome et même le géodésien ulilieent à chaque instant pour repérer les directions dans le ciel ou même sur la terre.

Au point de vue géométrique, on peut dire que les étoiles définissent physiquement à chaque instant l'orientation invariable du trièdre de coordonnées de l'astronome. Elles fournissent des directions fixes approchées, les seules que l'on possédât jusqu'au jour oii la mécanique céleste donna, par ses lois mêmes, le moyen de rattacher aux changements de la configuration intérieure du système solaire envisagé

isolément la définition incessante de directions fix;es absolues.

Absolues, comme nous le verrons an point de vue de la mécanique, cet assemblage de directions invariables coïncide à fort peu près avec celles que nous donne le visé dos étoiles proprement dites.

Simultanément les astronomes emploient d'autres systèmes de coordonnées sphéricjues ayant pour axe polaire soit l'axe de la rotaHo7i diurne de la terre, soit l'axe perpendiculaire à ce plan très lentement variable dans lequel le soieil circule annuellement autour de la terre.

Il n'est pas inutile de rappeler les relations qui existent entre ces divers systèmes de coordonnées et les très lents mouvements qu'ils présentent les uns par rapport aux autres.

L'horloge de repère qui enregistre ces divers mouvements est soit la rotation diurne de la terre, soit le mouvement annuel du soleil autour de la terre ; l'accord périodique des deux horloges doit être regardé comme un fait d'observation.

La première horloge seule se prête à une division indéiinie de la durée et elle définit physiquement ce que nous regardons comme le cours uniforme du temps, et aussi ce que nous appelons l'unité de temps; celle-ci nommée jour sidéral est le temps que nous regardons comme constant d'une rotation complète de la terre par rapport aux étoiles. L'unité civile du temps est le jour solaire moyen, dont le rapport au jour sidéral sera indiqué un peu plus loin. Définissons maintenant les repères géométriques de l'astronome.

Soient sur une sphère, dont l'œil de l'observateur est

le centre, M la perspective d'un astre, P le pôle (Nord) et -/ le point de l'équinose du printemps; les deux coordonnées angulaires du point M sont fl>M = -R, ascension droite comptée toujours positive de 0° à 360" dans le sens

direct autour de P, et l'angle au centre

3 proportionnel à l'arc PM, compris entre 0° et 180", qui

prend le nom de distance -polaire de l'astre. .'R. eL B sont les

coordonnées équaloriales.

De même soit encore n le pôle de l'écliptique; on pourra

prendre pour coordonnées angulaires

de M:

1" L'angle vUM — h. loni/iDide complée

de 0" à 360° dans le sens direct autour

de n de 0" à 360" ; 2° La distance angulaire It^[ = (s,

comprise entre 0° et 180°.

Les formules (li), p. 6, donnent immédialement entre les

deux systèmes de coordonnées les relations surabondantes.

; COSfl=:C

siii ^ slii L ~ si ' siiificos L^s

; 5 — sin w siii S sin JR.