A.. > II

dans io second cas ibiis ie troisii'mc cas

enlraÎQènt la mpt«re après répétition suffisaule des surcharges. cl que les hypothèses correspondantes

U.. < Ri - E

pcrmeUant, sans rupture, la répétition indéfinie des surcharges.

Launhardt a proposé, pour le cas où les forces élastiques développées ne changent pas de sens, la formule empirique :

cette formule coïncide avec la définition de p el. pi lorsque f„^^ = f,,,\„ et lorsque f„à„ = o elle est d'accord avec les recherches de Wijhler pour les cas intermédiaires.

Pour le cas où il se produit des forces élastiques de sens variable, Weyrauch a proposé la formule empirique :

qui est identiquement satisfaite pour <f„,„r ^ et pour r.»!! — fmm et qui parait d'accord aussi avec les expériences de Wohier pour les cas interraédiairGs..

Liide

Launhsrdt.

■il'i LES TROIS MOBUIES D EUSTlCITi;.

Module de se- - désignant une fcacLion, choisie de senliment, on pose curité pratique. "

et R', el R'j se nomment charges de sécarilo.

Modules do gi ^r, ^,, c^ sont les modules de rupture et les modales cisaillement et ,, , , . , -™ . . . ■ .,, i

de torsion. ^ élasticité relatiis a la torsion ou au cisaillement les expériences de Wohler, comme les théories de Navier, indiquent que l'on peut poser :

d'où on déduira les coefficients de sécurité théorique et pratique par les formules correspondantes de Launhardt et de Weyrauch.

Ces formules sont utiles pour le calcul des dimensions des pièces. Mais nous devons aborder la détinition de celles-ci, , et l'examen des hypothèses simpliiiantes de la théorie de la Résistance des matériaux.

Béiinitioli Nous Considérerons une pièce engendrée par une aire des pièces. p|g^j^g ^ j^j^^ jg centre de gravité G décrit une courbe plane L constamment normale à l'aire; les dimensions de la section seront supposées petites non seulement par rapport à la longueur de L, mais encore par rapport aux divers rayons de courbure de l'arc L. La courte L porte le nom de fibre moyenne, lorsque l'espace ainsi engendré par l'aire A est supposé rempli d'une matière homogène et élastique.

RÉRISTAr^CE BKS SOJ.inES. 273

Il arrivera quelquefois que l'aire mobile A varie lenlemenl, la variaLion de ses dimeusions resLant peLite par rapport à l'arc décrit sur la ligue moyenne qui demeure le lieu des centres de gravité de l'aire A.

Le corps de la pièce peut n'être pas complètement homogène, mais sa densité et ses propriétés élastiques devront se distribuer symétriquement par rapport au plan de la courbe L; lorsqu'il en est ainsi, celte courbe L n'est plus définie comme le lieu du centre de gravité de l'aire géométrique A, mais bien comme le lieu du centre de gravité d'une aire fictive non homogène, dont la densité superficielle serait en chaque point proportionnelle à la valeur en ce point du coelTicient d'élasticité (dans le sens dos fibres normales au plan A).

Nous aurons à considérer par la suile l'ensemble des sections A comprises entre une section terminale Ao et une section Ai et les forces appliquées ans différents points de cette partie de la pièce; ces forces comprenant d'ailleurs les forces directement connues et aussi les réaclions, généralement inconnues, desappuis; si toute cette partie de la pièce était supposée rigidifiée, on pourrait composer ces forces, suivant la méthode de Poinsot : 1° en une force R pas- '^■^

sant par le centre de gravité Gi, de la section Ai et en couple M,. Gomme nous ne considérons que des forces symétriques par rapport au plan de la courbe L, la résultante R se décomposera en une force N^ normale au plan de l'aire A et en une force T, située dans ce plan et dirigée suivant la normale à la courbe L.

274 nYPOTHKSIÎS kouvelles.

Relativement aux signes de Mi, Ni, Ti on fait les conventions suivantes : on prenti comme direction positive de N la tangente en G, à la courbe L, dirigée dans le sens G,x des arcs croissants au delà de Ai lorsque la courbe es 1 parcourue de Ao à A,, on complète avec une direction G^y de la normale et une direction G.s perpendiculaire au pla do Z un trièdre GiZ, G,!/,G,:, de coordonnées, superposable sur un trièdre fixe clioisi une fois pour toutes.

Le moment M, est > o s'il tend à faire tourner en rapprochant dans un simple quadrant G,^ de G,y.

De même N, et T, porteront leurs signes.

Mi se nomme le moment de flexioji.

Ni porte le nom de compression de la fibre. moyenne.

Ri se nomme Veffort tranchant.

Nous désignerons les quantités analogues relatives au point G par M, N, T, sans indice.

On regarde les pièces comme semi-élastiques et semirigides; les sections A sont regardées comme rigides, les fibres primitivement normales aux sections A sont regardées comme élastiqties.

La rigidité des sections A permet de composer ou de réduire conformément aux règles de la statique des corps rigides toutes les forces dont les points d'application véritables sont situés en une même section.

Dans la plupart des cas on admet que les sections A restent normales à la fibre neutre, cette hypolhcse revient à négliger l'influence de l'effort tranchant, ce qui revient à admettre une rigidité de glissement.

Dans cette manière do voir les sections sont censées supportées par l'ensemble des fibres normales parallèles à la fibre noulre.

Les efforls élastiques exercés sur la section A' par la partie antérieure de la pièce agissant sur la parlie postérieure- forment, un système de forces défini par les quanlilés M',N', T' relatives à cette section; le couple M' tend, nous l'admettons, à fléchir les fibres, la force N' tend à les comprimer^ quant à la force T' l'hypolhèse précédente revient à la regarder comme impuissante à produire des déplacements élastiques appréciables.

Quelquefois on abandonne riiypolhèse de la conservation de l'orthogonalité des sections sur la libre neutre et on tient compte de l'effort tranchant d'une manière qui sera indiquée un peu plus loin, et qui, on le verra, est assez arbitraire.

Considérons la pièce en sa position primitive fictive, alors Forces éiasti-

qu'ancune force, pas même la pesanteur, n'agit sur elle. ''"^^^ ^^'

' ' ' ' ij mations elas-

Et soient A et A' deux sections infiniment voisines de tiques corres-

la pièce dont les centres de gravité sont séparés par l'arc pondantes dans

,,,..., le VDisinage

as de la hbre neutre, ^-^^^^ section

Considérons la portion du corps engendré par l'élément rfu) de la section A, venu dans la génération de la pièce occuper un élément égal rfw' de la section A'; vu les faibles dimensions transverses de la pièce vis-à-vis de la courbure de L on peut supposer que les deux éléments dm, dm' sont distants de ds, après déformation l'élément d'arc ds s'est accru de — ^ds par la compression. La pression par unité de surface, n, sera donc en admettant que laftbre considérée travaille comme si elle était seule

l'élément rf^ transmettra donc de la partie antérieure à la parlie postérieure du corps la foi'ce élastique

normalement à la section.

27C FORCES ET DÉFOBMATIONS COKRESPOSCANTES.

Si te est la distance de l'élémciil dut à une droite passant par G et perpendiculaire au plan du tableau (distance comptée positive dans le sens Oy) le moment de cette force élastique sera

— nd.o.u

On aura lioiic

ces intégrales de surface étant prises dans toute l'étendue S de la section A.

Pour calculer ces intégrales, il nous faut évaluer Srfs qui est une fonction linéaire de u; en effet la section A' tourne par rapport à la section A et si on appelle w la quantité dont elle tourne dans le sens positif des moments, on aura pour le raccourcissement Brfs

(2) S(is^(^ifs)„ + <.)M

(Sds)o désignant le raccourcissement de la fibre moyenne. Remplaçons « par sa valeur E --t- et ids par sa valeur (2), les relations (1) deviendront

Or que E soiL variable ou non, posons :

et observons que par la défmilioti de la fibre moyenne ot par une propriélé bien connue da centre de gravité on a :

Nous aurons donc :

( MJs ^

Si E est constant dans chaque section S dont le moment d'inertie géométrique est I on aura

et les formules

■ (3) se réduisent à ceilcs-ci :

^ ' Mils

on en déduit pour la compression îi d'une lilire générale qui s'est raccourcie de