EMPLOI OE FORCES FICTIVES

pol;ygone funiculaire cette aire est la différence des aires a„a\ bb' et a^a'^ aa'.

Ainsi la force fictive - dx est la résultante de deux autres forces fictives ;

1° L'une descendante, égale à l'aire «^«'o 66' et qui ne dépend que des charges connues de la travée ;

__jy

3" L'autre représentée par l'aire «„«'„ aa' qui dépend de A^'B"; on l'appelle : la force ascendante, sauf à changer son signe quand elle est négative.

Les forces descendantes donneront l'aire du polygone A, I, II, III, IV, B', la force inconnue sera l'aire du trapèze A' A"B'B"

Représentons l'aire du polygone par un rectangle de base arbitraire p fixe et de hauteur -ri, tj représentera la force descendante et elle devra être appliquée suivant l'ordonnée du centre de gravité de l'aire du premier |

HÉSISTANCB DES SOLIDES. 3l0

De même si on décompose l'aire du Lrapcze en deux triangles par la diagonale A'B", la force ascendante pourra être décomposée en deux forces appliquées aux tiers de la travée; si / est la longueur de la poutre, les représentations fp et if' des deux composantes ascendantes vérifieront les relations :

et les moments de ûexion en A et B seront

en sorte f[ue l'on aura

^- p "sp

a ettf' smit bien des forces.

Dans les poutres à section variable, nous aurons à envisagée des forces — j— qui seraient aussi susceptibles d'une composition graphique assez simple, sur laquelle nous n'insisterons pas.

Nous prendrons comme base de la lliéorie des poutres droites le théorème suivant :

Si aux divers éléments dx de la libre moyenne primitive d'une poutre à appuis quelconques, on applique des charges fictives pT- descendantes ou ascendantes suivant le signe de M, la fibre inmiiinne\àe la poutre déformée coïncide avec

SIfi pouthk simple jn-APPiiyÉKj Mi-ENCASTinîii:.

l'une des courbes funiculaires relatives à ces charges, ayant une distance polaire égale à i'unîLé de longueur.

En effet, on a vu que l'équation différentielle de la fibre moyenne déformée est :

Or, on a vu aussi, que c'esL là récjuation d'une courbe funiculaire sous les charges élémenlaires -^-, le rayon polaire ôlant pris égal à ruiiilc.

POUTUE MI-APPUYÉE, M1-EKC„VSTRÉE AVEC EXTHÉMiTÉS DE NIVEAU.

ime résîikanCe passant par l'extrémité non-encastrée de la

Telle est la proposition qui résume la théorie de la poutre considérée. Pour la démontrer, envisageons la libre moyenne déformée AMB.

C'est une courbe funiculaire des charges fictives considérées, donc les tangentes extrêmes se coupent en un point de la résultante ; mais l'une de ces tangentes est la droite AB, donc la résultante passe par l'appui simple B.

HÉSISTASCIiL DliS SOUDES,

■]" Théorie graphique.

Supposons, pour simplifier, la secUon et rélasticilé conslante :

Le moment de flexion est nul en B ; nous traçons un polygone funiculaire des charges données : A„, I, If,

m, IV, B„; soit p sa distance polaire; la base des ordonnées

destinées à mesurer les moments de flexion sera une droite

passant par B;,; désignons pour un moment par B^ A, cette

base encore inconnue, nous la déterminerons par la condi-

M tioii que les charges fictives élémentaires —dx aient nue

résullaule passant parB; mais ces charges fictives peuvent se

318 FOUTUE SIMPLE Ml-APPVÏÉK Ml-ENCASTHÉE.

résoudre en une différence de charges dues au momeut de flexion des charges données et en une charge asccndariLe égale à l'aire inconnue du triangle B^ A, A„.

Celte dernière est inconnue en grandeur, mais elle passe par le centre do gravité du triangle A„ A Ai, c'est-à-dire par le premier tiers de la poutre, voisin de l'encastroraenl ; si R' est la résultante chargée de signe des forces fictives considérées, on voit que le problème revient à trouver deux forces ayant des lignes d'action données et qui équilibrent les forces descendantes représentant les aires partielles du polygone A„, I, II, III, IV, B„ ; si ? est la force ainsi déterminée qni représente la poussée ascendanle due au triangle A^ B^ A, on aura :

et Ao A, sera connu.

On en déduira la distribution des moments de flexion véritables, dues ans surcharges et aux réactions. Le point H, où Bo Al coupe le contour ouvert du polygone funiculaire donne l'ordonnée du point d'inflexion de !a fibre moyenne déformée, puisqu'on ce point le moment de flexion véritable sera nul.

Cas particulier à' anv: charge unique appliquée en G et dont Ao Co B„ est \m polygone funiculaire ;

La force fictive descendante sera le produit :

C^DûX^ ou Taire du triangle Ao C^ Bo, et elle passera par le centre de gravilé G„ de ce triangle.

Pour décomposer la force G<,DoXg en deux, passant l'une par g premier tiers de la poutre, voisin de i'encasrement, l'autre par B, prenons BH = CoDo puis menons

HESISTANCfi niîS SOi.IDIÎS,

!120 CAS i/lNIÎ CnARGIÎ TlNlQt;!';.

^11, et par le point y pied de l'ordonnée de G„, du point f menons yK parallèle à (/H jusqu'à sa ronconlre IC avec BH; menons enfin Âo A, = BK, joignons A,Bo je dis que Ai B„ sera la base de la mesure des raomenls de flexion véritable. Si G„ D„ mesurait la force en G^ à décomposer, BK et KH seraient les valeurs des composantes appliquées eu (j et B; la composanle en g analogue de la force

ce qui représcnle l'aire du triangle AqAiBo. Ainsi est justifiée la conslruction indiquée.

Cas d'uM Soit 1^ la charge par unilé de longueur; par le milieu I

unifûme '''^ '^ poutre élevous-lui une perpendiculaire sur laquelle nous porterons «ne longueur IS qui à l'échelle des forces représentera le quart de la charge totale de la poutre

tri;

Traçons la parabole de sommet S et passant par les extrémités A et B de la poutre.

Elle sera la courbe funiculaire de la charge uniforme, de distance polaire ;t; prenons sur l'ordonnée du point A encastré une longueur égale à IS et Joignons A, B.

Cette droite sera la base de la mesure des ordonnées qui,

RTÎS[STA,NCr, DES SOLIBIÎS.

arrêiccs au polygone dmiculaire, représentent les véritables moments de flexion.

En effet, en prenant le point I comme origine des abcisses, le moment de llexion de la même poutre supposée portée par appuis simples est

Le moment en I e5t donc

!SXp= ;

TUKOIilF ANALYTlQUIi.

c'est-à-dire l'aire de la

La résultante des forces

I' parabole est

c'est la force que nous devons équilibrer par deux autres parallèles, l'une passant au premier tiers ff, voisin de A sur AB, l'autre passant en B. Soil ;? la composante en ff, appliquons le théorème des moments par rapport à B, on devra avoir :

d'où

pX sl=ïiiX CSX5

- es X a

or, telle est bien l'aire du triangle ABAi.

Donc BAi est bien la base cherchée.

2° Théorie analytique pour la poutre droite mi-appuyéc, mi-encaslrée.

IKSISTASCr, »KS SOLIDKS.

Prenons comme origine l'extrémité non encastrée de la poutre. Le moment de flexion M sera de la forme :

pi. désignant le moment de flexion sur la poutre portant mêmes charges, mais reposant sur appuis simples, on a évidemment

On va déterminer A en exprimant que les forces fictives =r; dx ont une résultante passant par l'origine; la somme des moments de ces forces par rapport à B sera donc nulle, donc

fi

c'est-à-dire

j .TiJx -\- A

324 POUTRE Mr-Al'I'UYfiK.

d'où

El

D'ailleurs, en dcsigiianl par i, ï....a„ les abcisses croissantes des points à'ap[tlicalioii des charges P,, P?..., P„ isolées, on a :

Si la charge est conLiiiuo, la eiiarge sur l'clémcnt d% étant représentée par xàd%, on aurait ;

yGoosle

liÈSISTA.^CIi DES SOLIDES. 325

Si la poutre est homogène et de section constante, on a :

— Cas d'une charge uniforme. — On trouve :

le point d'inflexion est aux '-t de la fibre moyenne à partir du libre appui.

La même méthode est encore applicable; le système des charges fictives -y^ admet toujours la fibre moyenne déformée comme polygone funiculaire; mais les tangentes extrêmes ^gg^jj^i'jg de ce polygone funiculaire sont ici coïncidentes, le système sont de niveau, des charges verticales -p|- devra donc se réduire à une force horizontale; celle ci doit donc être nulle, c'est-à-dire que le système des charges fictives considéré doit être en équilibre. Si la poutre est homogène à section constante, la théorie graphique conduira encore à décomposer l'aire polygonale déjà considérée en deux forces passant par le premier et le dernier tiers de la poutre et la détermination de ces

POUTRE DOUBLEMMT EiSXASTIlEE.

deux composantes fera connaiLre encore la base des

ordonnées représentatives des véritables moments de flexion.

Le calcul donnera encore une solution tout aussi simple,

le moment de flexion étant représenté comme on le sait par

M - ij. -I- Ax + 15

on déterminera les constantes A. et B en exprimant l'équilibre des charges fictives -ï^. Le théorème des projections et le théorème des moments expriment cet équilibre par les deux équations

/M , . / Mxdx

oîi / désigne la longueur de la poutre.

Si la poutre est homogène, on écrira :

si la poutre est de section symétrique en son milieu, on peut prendre ce point pour origine, alors

liÉSlSTANCii DES

SOUD!

iS.

et en ce cas :

+ \ f;.xix

ifx'dj}

Si la charge

possède la môme

symélrie

et on aura :

Si la section est eonstanie et si l'oi'igine est prise à une estrémilé de la poutre on ;i :

POUTHE POUm-EMlLNT ENCASTREE.

Charge uniforme. — Si l'S est la cliavge par imiEé de longueur on Lrouvc :

' = 'iXii- *■')

Charges isolées. — On trouvera sans difficulté

31=-— SP- + |SP(l-«)

RESISTANCE DES SOUDES.

Charges continues. — El pour des charges élémenlaires ■ààt

^Jî / ri,.;7-..)(;-2..}ri.-l / d

Effort tranchant. — Dana le cas généra! de charges isolées l'efibi'L Lranchaul T e^t donné par la l'ormule

"" <lx c'est-à-dire

ou trouve aintii pour le cas d'nne charge isolée

lY

Théorie des poutres continues reposant sur plusieurs appuis.

Nous envisageons maintenant des poutres qoi nalurellenient droites sont posées sur appuis.

Ces appuis sont généralement de niveau, mais par suilo ■de tassement des supports ils peuvent cesser de l'être; et cetle dénivellation légère est loin d'être négligeable, aussi son influence élastique doit-elle être appréciée.

On pourra d'ailleurs toujours supposer que la poutre étudiée porte sur des appuis intermédiaires simples et que l'encastrement, s'il existe, n'ait lieu que sur les appuis extrêmes. La théorie actuelle repose sur le théorème suivant ou théorème des trois appuis.

^ Hv.i

i Ti-1

^rrr:^^^ '■' "~"]

BÉSLSTANGH DBS SOLIDES. 331

Soient A,i, A^, Af+i les Irois appuis consécutifs de deux Théorème travées de longueurs /; et hj^i, soit toujours M le momenl t^ds appuis, de flexion en un point quelconque de la poutre, appliquons sur la tracée /; des forces fictives élénientaires :

Mdx

et sur la travée /;+, des forces fictives élémentaires : Mlle

soient G,i la somme des momeots des premières forces par rapport à l'appui A;i elG^^, la somme des moments du second groupe de forces par rapport à l'appui Ai+,.

Soit ">, l'angle aigu très p.etil, positif ou négatif dont il faut faire tourner la direction A,, A^ pour l'amener en coïncidence avec la direction A; A;^., on aura :

— Gi__i + G, + , = ^>,

Soient y^^^, y,,, y;+, les ordonnées descendantes des démonstration, appuis. Soit tracée

la tangente à la libre moyenne déformée sur l'appui intermédiaire.

Soit Ei l'angle positif on négatif dont a tourné la section de la fibre moyenne au-dessus de l'appui Af.

En désignant par II;., H,^, les points des ordonnées des appuis extrêmes qui sont au niveau de l'appui moyen on a :

TMEOllËME DES TllOlS A]>l't:iS.

Or on a vu que la fibre moyenne esl dans chaque truvée une courbe funiculaire de distance polaire égale à 1 pour le système des charges ficlives -^p réparties sur celte travée, donc d'après une propriété des courbes funiculaires le segment A,^.,T;^., est la représentation du moment par rapport à A,^.! des charges fictives considérées, or on a :

et par suite

ou auriùl de même sur l'autre Iravce :

c'cat-à-dire en confondant les petits angles cl leurs tau- G, + , -Ci = mi C.O.F.D.

yGoosle

UESISTASCK DUS SOLlDIilS.

En désignant par x, soas le signe /"les abeisscs relatives à chaque travée, le développement de l'équation précédente

^■^J if ~ir+t~ j ta + (. ^' /h

Quelle que soit la manière d'être, hors de sa travée de Propriétés

, , T ■ -1 ■ 1 .1 (l'uue travée de

rive, d une Doutre encastrée sur la rive, il existe sur cette , ,

' r nveeiicastréeà

travée un point indépendant des charges, dépendant de la j,i„e »„ moins seule travée, pour lequel le moment de flexion véritable de ses extrécoïncide avec le moment de la travée considérée comme i»"'«s:i expoutre unique encastrée sur rive et simplement appuyée sur le premier appui intermédiaire.

Pour une travée régulière et homogène ce pomf. est au premier tiers de la

travée à partir du point B ëWm

d'encastrement. ; A ï^"'"

Prenonscommcorigiiie j l'appui simple B. 1

Soient î/oetïi/i les cotes ^ de niveau descendant

après tassement des appuis B et A; la rotation s, est nulle et la seconde équation qui la fournit employée dans l'article précédent donne ;

/Ma;,

yGoosle